Question

Determine a equação da parábola que tem diretriz de equação y=3 e vértice V(0,0)

Answer 1

O foco desta parábola é o ponto $F=(0;\,c),$ que está sobre o eixo das ordenadas.


A distância do foco à diretriz é o dobro da distância do foco ao vértice:

$3-c=2\cdot 3\\ \\ 3-c=6\\ \\ c=3-6\\ \\ c=-3$


O foco é o ponto $F=(0;\,-3).$


A parábola é o conjunto de todos os pontos $(x;\,y)$ cuja distância até a diretriz é igual à distância até o foco:

$|y-3|=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-(-3))^{2}}\\ \\ |y-3|=\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$|y-3|^{2}=(\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}})^{2}\\ \\ (y-3)^{2}=x^{2}+(y+3)^{2}\\ \\ y^{2}-6y+9=x^{2}+y^{2}+6y+9\\ \\ -6y=x^{2}+6y\\ \\ -12y=x^{2}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{12}\,x^{2} \end{array}}$