Question

Determine a equação da hipérbole que tem como assintotas, as retas 2x y=0 e 2x-y-1=0 eixo horizontal e passa pelo ponto (4, 6).

Answer 1

A equação da hipérbole será: 4x² - y² - 8x + 2y - 8 = 0.

Como funciona a Geometria Analítica?

A Geometria Analítica foi desenvolvida e criada por René Descartes, que se baseou em fundamentos da que se expandem da Álgebra até a Geometria, para trabalhar com figuras geométricas através de sistemas de coordenadas.

Então sabendo que a hipérbole se projeta no ponto (4,6), verificamos que esse eixo focal será:

• (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1.

PS: "h" e "k" serão as coordenadas desse centro, enquanto "a" e "b" serão semi-eixo real, e semi-eixo imaginário.

Logo, suas assíntotas serão as retas:

• 2x + y - 3 = 0 e 2x - y - 1 = 0.

Portanto a hipérbole e as assíntotas com sua forma serão, respectivamente:

• (x - 1)² / a² - (y - 1)² / b² = 1

y - k = ± ((b / a) . (x - h))

Nosso desenvolvimento sobre as equações de reta serão:

• 2x + y - 3 = 02x + y - 1 - 2 | 0y - 1 = -2x - 2y - 1

-2 (x - 1) 2x - y - 1 = 02x + y + 1  = 0y - 1 = 2x - 2y - 1 = 2 (2x - 1)

Portanto, nossa hipérbole ficará da seguinte forma:

• (x - 1)² / a² - (y - 1)² / (2a)² = 1

(x - 1)² / a² - (y - 1) ² / 4a² = 1.

Substituindo o ponto e depois multiplicando o primeiro termo, teremos:

(4 - 1)² / a² - (6 - 1)² / 4a² = 1

(3)² / a² - (5)² / 4a² = 1

(9) / a² - (25) / 4a² = 1.

(36) / 4a² - (25) / 4a² = 1

36 - 25 = 4a²

11 = 4a²

a² = 11 / 4

a = √11 / 4

b = √11

Finalizando então:

(x - 1)² / 11 / 4 - (y - 1)² / 11 = 1.

4x² - y² - 8x + 2y - 8 = 0.

Para saber mais sobre Geometria Analítica:

brainly.com.br/tarefa/20558054

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :))

#SPJ4