Question

Determine a equação da hipérbole, dados: a) os focos F1 (8, 0) e F2 (-8, 0) e os vértices A1 (5, 0) e A2 (-5, 0); b) os vértices A1 (3, 0) e A2 (-3, 0) e a medida da distância entre os focos igual a 8; c) os vértices A1 (3, 0) e A2 (-3, 0) e a excentricidade igual a 2.

Answer 1

Vamos aplicar os conceitos de hipérbole para responder cada alternativa.

a) Aqui temos uma hipérbole com centro na origem (pois os vértices estão simetricamente opostos à origem do sistema) e os dois focos estão localizados  no eixo das abscissas. Nesse tipo de caso a equação geral da hipérbole será dada por:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

, onde a representa a distância entre a origem e A1 (ou A2) e b representa o semi eixo imaginário.

Se considerarmos c como sendo a distância da origem até qualquer um dos focos temos a relação b² = c² - a² válida.

No nosso caso temos c = 8 - 0 = 8 e a = 5 - 0 = 5. Logo:

b² = 8² - 5² = 64 - 25 = 39

Portanto a hipérbole será:

$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{39} = 1\\\\39x^2 - 25y^2 = 975$

b) Os vértices estão novamente no eixo das abscissas, logo vamos aplicar as mesmas fórmulas da alternativa anterior.

Temos que:

a = 3 - 0 = 3

2c = 8 (2c é a distância entre os dois focos)

c = 8/2 = 4

Portanto:

b² = c² - a² = 16 - 9 = 7

E a equação nesse caso vai ser:

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1\\\\7x^2 - 9y^2 = 63$

c) Novamente temos o eixo coincidindo com as abscissas do plano. A excentricidade de uma hipérbole é dada por:

e = c/a

Aqui também temos a = 3 - 0 = 3. Logo:

e = c/a

2 = c/3

c = 2*3 = 6

E b será:

b² = c² - a² = 36 - 9 = 27

A equação dessa hipérbole é:

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{27} = 1\\\\3x^2 - y^2 = 27$

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