Question

Determine a equação da hipérbole cujos focos são F1 (3,6) e F2 (3, - 6) e o eixo imaginário é 2B igual = 6​

Answer 1

A equação da hipérbole é $-\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{y^2}{27}=1$.

Vamos calcular a distância entre os focos da hipérbole.

Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos:

d² = (3 - 3)² + (-6 - 6)²

d² = 0² + (-12)²

d² = 144

d = 12.

A distância entre os focos da hipérbole é igual a 2c.

Sendo assim:

2c = 12

c = 6.

Como 2b = 6 ∴ b = 3, para calcularmos o valor de a utilizaremos a relação c² = a² + b².

Assim:

6² = a² + 3²

36 = a² + 9

a² = 27

a = 3√3.

Sabemos que os focos pertencem ao eixo real da hipérbole. Como os focos pertencem à reta x = 3 que é paralela ao eixo y, então a equação da hipérbole é da forma $-\frac{(x-x_0)^2}{b^2}+\frac{(y-y_0)^2}{a^2}=1$.

O centro da hipérbole é igual ao ponto médio entre os focos.

Portanto:

2C = (3,6) + (3,-6)

2C = (3 + 3, 6 - 6)

2C = (6,0)

C = (3,0).

Logo, a equação da hipérbole é:

$-\frac{(x-3)^2}{9}+\frac{y^2}{27}=1$.