Question

Determine a equação da função de segundo grau que contém o vértice (1,3) e o ponto (2,5):


A) - 2(x-1)2 + 3


B) 2(x - 1)2 + 3


C) 2(x-1)2 - 3


D) 2(x + 1)2 + 3


E) 2(x + 1)2 - 3

Answer 1

Boa noite

A reta  x=1 é o eixo de simetria , então o ponto (0,5) também pertence à

parábola . Pensando na função  y= ax² +bx +c   temos para o ponto 

(0,5)  → 5=a*0²+b*0+c ⇒ 5=c       e para os outros pontos   

$\left \{ {{3=a* 1^{2}+b*1+5 } \atop {5=a* 2^{2} +b*2+5}} \right. \\ \\ \\ \left \{ {{a+b+5=3} \atop {4a+2b+5=5}} \right. \\ \\ \\ \left \{ {{a+b=-2} \atop {4a+2b=0}} \right. \\ \\ \\ \left \{ {{b=-2-a} \atop {2a+b=0}} \right.$

2a-2-a=0 ⇒ a=2  ⇒ b = -2-2 ⇒ b= -4   temos então

y= 2x² -4x + 5   ⇒  y = 2x² -4x +2+3 ⇒ y= 2(x²-2x+1)+3 ⇒ y = 2(x-1)² + 3

Resposta :   letra B

Obs. A partir das opções temos uma "solução"  rápida , a equação  B  é a

única que fica verdadeira para o ponto (1,3)
 

 

Answer 2

Para f(1)=3
ax² + bx + c = 3
a*1² + b*1 + c = 3
a + b + c = 3

Para f(2)=5
ax² + bx + c = 5
a*2² + b*2 + c = 5
4a + 2b + c = 5

Organizando em sistemas
a + b + c = 3 (-1)
4a + 2b + c = 5
-a - b - c = -3
3a + b = 2

Colocando b em evidência
b = 2 - 3a

A fórmula do vértice é:
-b
——— = Xv
2a

Substituindo pela fórmula que encontramos para b:
-b
——— = 1
2a

- (2 - 3a)
———— = 1
2a

- (2 - 3a) = 1 * 2a
-2 + 3a = 2a
3a - 2a = 2
a = 2

Para encontrar o valor de b:
b = 2 - 3a
b = 2 - 3*2
b = 2 - 6
b = - 4

Para achar o valor de c:
a + b + c = 3
2 + (-4) + c = 3
2 - 4 + c = 3
c = 3 + 2
c = 5

Para formar a equação:
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = 2x² + (-4)x + 5
f(x) = 2x² - 4x + 5
f(x) = 2x² - 4x + 2 + 3 ( porque nas alternativas o último número é 3)
f(x) = 2(x - 1)² + 3