Question

determine a equação da elipse de focos f1 (-1,1) e f2 (1, -1) e o eixo maior 4√2

Answer 1

O eixo maior (2.a) vale $4\sqrt{2}$, então :

$2.\text a = 4\sqrt{2} \to \boxed{\text a = 2\sqrt{2}}$  

Fazendo a distância entre o focos F1(-1,1) e F2 (1,-1)  vamos encontrar a distância focal (2c), então:  

$\sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$

$2.\text c = 2\sqrt{2} \to \boxed{c =\sqrt{2}}$

Vamos achar agora o eixo o semi eixo menor, usando a relação fundamental :

$\text a^2 = \text b^2 + \text c^2$

$\text b^2 = \text a^2 - \text c^2$

$\text b^2 = \text (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 \to \text b^2 = 8 - 2$

$\boxed{\text b = \sqrt{6}}$

Então a equação da elipse, é do tipo :

$\displaystyle \frac{\text x^2}{8} + \frac{\text y^2}{6} = 1$

porém ela está rotacionada, então vamos buscar isso.

Colocando os focos plano xOy, nota-se que a elipse está rotacionada, num ângulo de 45º, então vamos usar a matriz de rotação para encontrar os novos coeficientes x' e y' :

$\left[\begin{array}{c}\text x'&\text y'&\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\text{cos}(45^{\circ})&-\text{sen}(45^{\circ})&\text{sen}(45^{\circ})&\text{cos}(45^{\circ})\\\end{array}\right]. \left[\begin{array}{c}\text x&\text y&\end{array}\right]$

$\text x' = \text x.\text {cos}(45^{\circ}) - \text y.\text{sen}(45^{\circ})$

$\text y' = \text x.\text {sen}(45^{\circ})+\text y.\text{cos}(45^{\circ})$  

então :

$\displaystyle \text x' = \text x.\frac{\sqrt{2}}{2} - \text y.\frac{\sqrt{2}}{2} \to \boxed{\text x' = \frac{\sqrt{2}}{2}.(\text {x -y})}$

$\displaystyle \text y' = \text x.\frac{\sqrt{2}}{2}+\text y.\frac{\sqrt{2}}{2} \to \boxed{\text y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(\text{x+y})}$

Substituindo os novos coeficientes na equação da elipse e desenvolvendo :

$\displaystyle \frac{\displaystyle [\frac{\sqrt{2}}{2}.(\text {x -y})]^2}{8} + \frac{\displaystyle[\frac{\sqrt{2}}{2}(\text{x+y})]^2}{6} = 1$

$\displaystyle \frac{1}{2}.\frac{(\text x^2 - 2\text x . \text y+\text y^2)}{8} + \frac{1}{2}.\frac{(\text x^2+2\text x \text y + \text y^2) }{6} = 1$

$\displaystyle \frac{(\text x^2 - 2\text x . \text y+\text y^2)}{16} + \frac{(\text x^2+2\text x \text y + \text y^2) }{12} = 1$

o MMC dá 48, então :

$\displaystyle \frac{(\text x^2 - 2\text x . \text y+\text y^2)}{16/3} + \frac{(\text x^2+2\text x \text y + \text y^2) }{12/4} = 1$

$\displaystyle \frac{3.(\text x^2 + 2\text x . \text y+\text y^2)}{48} + \frac{4.(\text x^2-2\text x \text y + \text y^2) }{48} = 1$

$\displaystyle \frac{3.\text x^2 - 6.\text x . \text y+3.\text y^2}{48} + \frac{4.\text x^2+8.\text x \text y + 4.\text y^2 }{48} = 1$

$\displaystyle 3.\text x^2 - 6.\text x . \text y+3.\text y^2 + 4.\text x^2+8.\text x \text y + 4.\text y^2 = 48$

Então a equação da elipse é :

$\huge\boxed{\displaystyle 7.\text x^2 +2.\text x . \text y+7\text y^2 - 48=0}$

(imagem da elipse rotacionada para melhor compreensão)