Question

Determine a equacao da elipse cujos focos sao f1 (-12,0) e F2 (12,0) e que contem o ponto P (12,27/5)

Answer 1

Observando as coordendas
para os focos, o eixo principal e horizontal
o centro da conica e a origem do sistema de referencia
P pertence a conica, sua abscissa c= 12
e a equaçao reduzida da elipse é : x²/a² + y²/b² = 1

F1 (-12,0) F2 (12,0)
distancia focal (2c) : F1F2 = 24
vertices V1 (9,0) e V2 (-9,0)
eixo maior (2a) , V1V2 = 30
eixo menor (2b) AB= 18
R1: y = a/e +yo ==> y=75/4
R2: y=a/e - yo ===> y =-75/4

Ps: A questao pode ser resumida da seguinte forma: Conhecidos a distancia focal (2c) e um ponto P (Qualquer ponto da curva) entao P (12, 27/5) satisfaz
12²/a² + (27/5)² / b² = 1 e a²= b² + 12² rwesolver o sistema
o fato de P do enunciado ser um ponto da corda focal o torna algo especial

espero que tenha ajudado!

Answer 2

A equação da elipse é x²/225 + y²/81 = 1.

A equação geral da elipse com centro na origem e focos no eixo x é:

x²/a² + y²/b² = 1

A coordenada c dos focos (c, 0) e (-c, 0) é encontrada através do teorema de Pitágoras (a² = b² + c²). A elipse possui o ponto (12, 27/5), então temos que a distância de P ao foco 1 mais a distância de P ao foco 2 deve ser igual a 2a (eixo maior):

√[(-12 - 12)² + (0 - 27/5)²] + √[(12 - 12)² + (0 - 27/5)²] = 2a

√[(-24)² + 27²/25] + √[0 + 27²/25] = 2a

√605,16 + √29,16 = 2a

30 = 2a

a = 15

Sabemos também que:

15² = b² + 12²

225 = b² + 144

b² = 81

A equação da elipse é:

x²/225 + y²/81 = 1

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