Question

Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M ( 2, 0 ) N ( 6, 0 ) e P ( 6, 3)

Answer 1

Sabemos que a equação da circunferência é do tipo

(x - a)² + (y - b)² = r² 

em que a e b são as coordenadas do centro e r é o raio.

Substituindo o ponto M nesta equação, fica:

(2 - a)² + (0 - b)² = r² ⇒ 4 - 4a + a² + (-b)² = r² 
a² + b² - 4a + 4 = r²     (I)

Substituindo o ponto N na mesma equação, fica:

(6 - a)² + (0 - b)² = r² ⇒ 36 - 12a + a² + (-b)² = r²
a² + b² - 12a + 36 = r²    (II)

Fazendo (I) - (II), temos:

a² + b² - 4a + 4 - (a² + b² - 12a + 36) = r² - r² 
a² + b² - 4a + 4 - a² - b² + 12a - 36 = 0
8a - 32 = 0 ⇒ 8a = 32 ⇒ a = 32/8 = 4    (III)

Substituindo (III) em (I), fica:

4² + b² - 4.4 + 4 = r²
16 + b² - 16 + 4 = r²
b² + 4 = r²     (IV)

Substituindo o ponto P na equação da circunferência, fica:

(6 - a)² + (3 - b)² = r² ⇒ 36 -12a + a² + 9 - 6b + b² = r²
a² + b² - 12a - 6b + 45 = r²    (V)

Substituindo (III) e (IV) em (V), temos:

4² + b² - 12.4 - 6b + 45 = b² + 4
16 + b² - 48 - 6b + 45 = b² + 4
b² - 6b + 13 = b² + 4 ⇒ b² - 6b + 13 - b² - 4 = 0
-6b + 9 = 0 ⇒ -6b = -9 ⇒ b = -9/-6 = 3/2

Logo, o centro dessa circunferência é C = (4, 3/2)

Substituindo o valor de b em (IV), fica:

(3/2)² + 4 = r²
9/4 + 4 = r² 
(9 + 16) / 4 = r²
25/4 = r² ⇒ r = √25/4  (só o valor positivo porque o raio não pode ser negativo)
Logo, r = 5/2

Então, a equação dessa circunferência é:

(x - 4)² + (y - 3/2)² = (5/2)²

(x - 4)² + (y - 3/2)² = 25/4   (esta é a equação reduzida da circunferência; se você quiser a equação geral, basta desenvolver esses quadrados). Vou obter a geral para você:

x² - 8x + 16 + y² - 3y + 9/4 - 25/4 = 0
x² + y² - 8x - 3y + 12 = 0