Question

Determine a equação da circunferencia que passa pelos pontos A (4,2), B (-1,1) e D (1,-1). Ajudem !

Answer 1

Para termos a equação da circunferência, precisamos de 2 coisas:
1. o centro, que vamos chamar as coordenadas de C(x,y) = centro C de abscissa x e ordenada y; e
2. o raio r.
Observe que a circunferência passa pelos pontos A, B e D. Isso quer dizer que a distância entre o ponto A até o centro C é igual a distância do ponto B ao centro C que é igual a distância do ponto D ao centro C. E essas distâncias são iguais ao raio r. Pela fórmula de distância entre pontos, formalizamos:
Da,c = Db,c = Dd,c = r
raiz de [(4 - x)² + (2 - y)²] = raiz de [(-1 - x)² + (1 - y)²] = raiz de [(1 - x)² + (-1 - y)²] = r
Vou resolver só a primeira igualdade (Da,c = Db,c):
Eleva ambos os membros ao quadrado e tira a raiz:
(4-x)² + (2-y)² = (-1-x)² + (1-y)²
Resolvendo os produtos notáveis:
16 - 8x + x² + 4 -4y + y² = 1+2x + x² + 1 - 2y + y²
Rearrumando:
x² - x² + y² - y² - 8x - 2x - 4y + 2y + 16 + 4 - 1 - 1 = 0
- 10x - 2y - 18 = 0
10x + 2y + 18 = 0 (multipliquei por -1)
5x + y + 9 = 0 (guarda essa como equação 1)
-> Resolvendo agora a segunda parte das igualdades (Db,c = Dd,c):
raiz de [(-1 - x)² + (1 - y)²] = raiz de [(1 - x)² + (-1 - y)²]
Eleva ao quadrado ambos os membros e cancela as raízes:
(-1-x)² + (1-y)² = (1-x)² + (-1-y)²
1+2x+x² + 1 -2y + y² = 1 -2x+x² + 1+2y + y²
Rearruma:
x² - x² + y² - y² + 2x + 2x -2y -2y + 1 + 1 -1 -1 = 0
4x - 4y = 0
Simplificando:
2x - 2y = 0 (guarda essa como equação 2)
-> Agora faz um sistema com as equações 1 e 2:
5x+y+9 = 0 -> 5x+y = -9
2x - 2y = 0
Resolve o sistema (eu prefiro fazer por adição, então multiplicarei a primeira por 2):
10x+2y = -18
2x - 2y = 0
12x = -18
x = -6
2x - 2y = 0
2(-6) - 2y = 0
-12 - 2y = 0
2y = -12
y = -6
Se x = y = -6, agora você tem as coordenadas do centro C(x,y) = C(-6,-6).
Agora só falta achar o raio, substituindo os valores das coordenadas do centro em qualquer uma das distâncias feitas lá em cima.
Da,c = Db,c = Dd,c = r
Vou pegar o Da,c = r:
raiz de [(4 - x)² + (2 - y)²] = r
Como na equação da circunferência já temos que ter o raio ao quadrado mesmo, eleva ambos os membros ao quadrado:
[raiz de [(4 - x)² + (2 - y)²]]² = r²
r² = [4-(-6)]² + [2-(-6)]²
r² = 10² + 8²
r² = 164
-> Pela equação da circunferência:
(a - x)² + (b - y)² = r² ONDE:
a,b = coordenadas gerais dos pontos que passam pela circunferência;
x,y = coordenadas do centro;
r = raio.
[a - (-6)]² + [b - (-6)]² = r² (lembrando que r² = 164)
(a + 6)² + (b + 6)² = 164 -> Essa é a equação da circunferência já, se você quiser deixar ela na forma geral, basta desenvolver o produto notável e igualar a 0:
a² + 12a + 36 + b² + 12b + 36 - 164 = 0
a² + b² + 12a +12b - 128 = 0