Question

Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e C(2,-4).

Answer 1

- Equação simplificada da circunferência: (P(x,y) é um ponto qualquer da circunferência)

$x^{2} + y^{2} +Dx+Ey+F=0$

- substituindo os pontos dados na Eq. Geral fica:

Para A(5,5) temos que x= 5 e y=5 então

$5^{2} + 5^2+5D+5E+F=0==\ \textgreater \ 5D+5E+F=-50$

Para B(-3,1) temos que x= -3 e y= 1 substituindo

$-3^{2} + 1^{2}-3D+E+F=0==\ \textgreater \ -3D+E+F=-10$

Para C(2,-4) temos que x= 2 e y= -4 substituindo

$2^{2} - 4^{2} +2D-4E+F=0==\ \textgreater \ 2D-4E+F=-20$

Temos o sistema de equações

5D + 5E + F= -50
-3D+  E + F= -10
2D - 4E + F= -20

- Solucionar o sistema por Regra de Cramer e Sarrus

- Determinante
     | 5  5  1  5  5
Δ=|-3  1  1 -3  1
     | 2 -4 1  2 -4    [5+10+12]-[2-20-15]= [27+33] ==> Δ=60

- Calcular x
       |-50  5 1 -50  5
Δx=|-10  1  1 -10  1
      |-20 -4  1 -20 -4    [-50-100+40]-[-20+200-50]= [-110-130] ==>Δx= -440
  x=Δx/Δ ==> x= -440/60 ==> x= -22/3

- Calcular y
       | 5  -50  1  5  -50
Δy=|-3  -10  1  -3  -10
      | 2  -20  1   2   -2    [-50-100+6]- [-20-100+150] = [-144-30] ==> Δy= -174
 y=Δy/Δ ==> y= -174/60 ==> y= -29/10

- Calcular z
      | 5   5  -50   5  5
Δz=|-3  1  -10  -3  1
      | 2   4  -20   2  4   [-100-100+600]-[-100-200+300]= [400+0] ==> Δz= 400
z=Δz/Δ ==> z= 400/60 ==> z= 20/3

- Substituindo os valores encontrados para D, E e F na Eq. Geral temos a equação da circunferência procurada

$x^{2} + y^{2} - \frac{22}{3} x- \frac{29}{10}y + \frac{20}{3} =0$

- Eliminando os denominadores

30x² + 30y² - 220x - 87y + 200 = 0