Question

Determine a equação da circunferência no seguinte caso:
Raio r=2 e que passa pelos pontos P(0,0) e Q(2,2).

Answer 1

Resposta:

Quando y = 2 ; x = 0

4 = (0 - x)^2 + (2 - y)^2

Quando y = 0 ; x = 2

4 = (2 - x)^2 + (0 - y)^2

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que, numa circunferência, a distância de qualquer ponto (A) até o centro (C) é igual ao raio da circunferência (r). Algébricamente, isso pode ser descrito como:

d(C, A) = r

Com C(a, b) e A(x, y)

Considerando o Teorema de Pitágoras, a distância d pode ser reescrita como:

[d(C, A)]^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2

Assim temos que:

r^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2

Sabe-se que o raio é 2, então:

2^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2

4 = (a - x)^2 + (b - y)^2

Essa é a equação geral dessa circunferência

Agora podemos escrever duas equações, sabendo que os pontos P e Q pertencem à circunferência.

Para P:

4 = (0 - x)^2 + (0 - y)^2

4 = (-x)^2 + (-y)^2

4 = x^2 + y^2          (I)

Para Q

4 = (2 - x)^2 + (2 - y)^2

4 = 4 - 4x + x^2 + 4 - 4y + y^2

4 = x^2 + y^2  - 4x - 4y + 8

0 = x^2 + y^2  - 4x - 4y + 4          (II)

Se isolarmos o x da primeira equação:

x = √(4 - y^2)           (III)

E substituindo na segunda equação:

0 = [√(4 - y^2)]^2 + y^2 - 4√(4 - y^2) - 4y + 4

0 = 4 - y^2 + - y^2 - 4√(4 - y^2) - 4y + 4

0 = 8 + 0 - 4√(4 - y^2) - 4y

Dividindo por 4:

0 = 2 - √(4 - y^2) - y

Reorganizando:

√(4 - y^2) = 2 - y

Se elevarmos os dois lados ao quadrado:

4 - y^2 = 4 - 4y + y^2

Reorganizando e simplificando:

2*y^2 - 4y = 0

Dividindo por 2:

y^2 - 2y = 0

Colocando y em evidência:

y*(y - 2) = 0

Então [y = 0] ou [y - 2 = 0].

Assim, temos que:

y' = 0

y'' = 2

Se substituirmos esses valores em (III):

Quando y = 0 ; x = 2. Quando y = 2 ; x = 0

Então pode haver dois possíveis centros da circunferência e as equações ficam:

4 = (0 - x)^2 + (2 - y)^2

4 = (2 - x)^2 + (0 - y)^2