Determine a equação da circunferência no seguinte caso:
Raio r=2 e que passa pelos pontos P(0,0) e Q(2,2).
Soluções para a tarefa
Resposta:
Quando y = 2 ; x = 0
4 = (0 - x)^2 + (2 - y)^2
Quando y = 0 ; x = 2
4 = (2 - x)^2 + (0 - y)^2
Explicação passo-a-passo:
Sabemos que, numa circunferência, a distância de qualquer ponto (A) até o centro (C) é igual ao raio da circunferência (r). Algébricamente, isso pode ser descrito como:
d(C, A) = r
Com C(a, b) e A(x, y)
Considerando o Teorema de Pitágoras, a distância d pode ser reescrita como:
[d(C, A)]^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2
Assim temos que:
r^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2
Sabe-se que o raio é 2, então:
2^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2
4 = (a - x)^2 + (b - y)^2
Essa é a equação geral dessa circunferência
Agora podemos escrever duas equações, sabendo que os pontos P e Q pertencem à circunferência.
Para P:
4 = (0 - x)^2 + (0 - y)^2
4 = (-x)^2 + (-y)^2
4 = x^2 + y^2 (I)
Para Q
4 = (2 - x)^2 + (2 - y)^2
4 = 4 - 4x + x^2 + 4 - 4y + y^2
4 = x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8
0 = x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 (II)
Se isolarmos o x da primeira equação:
x = √(4 - y^2) (III)
E substituindo na segunda equação:
0 = [√(4 - y^2)]^2 + y^2 - 4√(4 - y^2) - 4y + 4
0 = 4 - y^2 + - y^2 - 4√(4 - y^2) - 4y + 4
0 = 8 + 0 - 4√(4 - y^2) - 4y
Dividindo por 4:
0 = 2 - √(4 - y^2) - y
Reorganizando:
√(4 - y^2) = 2 - y
Se elevarmos os dois lados ao quadrado:
4 - y^2 = 4 - 4y + y^2
Reorganizando e simplificando:
2*y^2 - 4y = 0
Dividindo por 2:
y^2 - 2y = 0
Colocando y em evidência:
y*(y - 2) = 0
Então [y = 0] ou [y - 2 = 0].
Assim, temos que:
y' = 0
y'' = 2
Se substituirmos esses valores em (III):
Quando y = 0 ; x = 2. Quando y = 2 ; x = 0
Então pode haver dois possíveis centros da circunferência e as equações ficam:
4 = (0 - x)^2 + (2 - y)^2
4 = (2 - x)^2 + (0 - y)^2