Question

determine a equação da circunferência de centro (0,0) e tangente à reta y - 3x - 20 = 0

Answer 1

Usaremos a equação da distância entre um ponto e uma reta:

$\mathsf{d=\dfrac{ax+by+c}{\sqrt{(a^2+b^2)}}}$

Como já sabemos ás coordenadas do centro, basta substituir na equação para encontrarmos o raio da circunferência.

$\mathsf{-3x+y-20=0}\\\\\mathsf{a=-3}\\\mathsf{b=1}\\\\\mathsf{d=\dfrac{-3.0+0-20}{\sqrt{[(-3)^2+1^2}]}}\\\\\\\mathsf{d=\dfrac{-20}{\sqrt{(9+1)}}}\\\\\\\mathsf{d=|-\dfrac{20}{\sqrt{10}}|}\\\\\\\mathsf{d=\dfrac{20}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\Rightarrow~ d=\dfrac{\diagup\!\!\!\!20\sqrt{10}}{\diagup\!\!\!\!10}\Rightarrow~\boxed{\mathsf{d=10\sqrt{10}}}}$

O raio dessa circunferência vale então 10√10

Sabendo que a equação geral da circunferência é: $\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

Onde a e b é o centro da circunferência, e como já sabemos é igual a 0.

Substituindo na equação temos:

$\mathsf{(x-0)^2+(y-0)^2=(10\sqrt{10})^2}\\\mathsf{x^2+y^2=100\cdot10}\\\\\boxed{\mathsf{x^2+y^2=1.000}}$

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