Question

determine a equação da circunferencia da tavola rodanda sabendo que os cavaleiros acolon , bors e cador se sentavam nas posições a ( 4 -1) b ( 4, 3) e c (7, 0)

Answer 1

Resposta:

A equação da circunferência procurada é: $(x-5)^2+(y-1)^2=5$

Explicação passo-a-passo:

Esta questão é simples, porém um pouco trabalhosa.

De início, vamos nos lembrar da equação da circunferência: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, sendo $C=(a,b)$ o centro da mesma.

Neste exercício, vamos colocar os seguintes pontos $A=(4,-1), B=(4,3), C=(7,0)$ na equação geral. Isso nos dará um sistema, o qual resolveremos para achar as vaiáveis $a, b, r$.

Vamos lá;

Substituindo o primeiro ponto, temos:

$(4-a)^2+(-1-b)^2=r^2\\16-8a+a^2+1+2b+b^2=r^2$

Substituindo o segundo ponto:

$(4-a)^2+(3-b)^2=r^2\\16-8a+a^2+9-6b+b^2=r^2$

Substituindo o terceiro:

$(7-a)^2+(0-b)^2=r^2\\49-14a+a^2+b^2=r^2$

Feitas as substituições, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases}16-8a+a^2+1+2b+b^2=r^2\\16-8a+a^2+9-6b+b^2=r^2\\49-14a+a^2+b^2=r^2\\\end{cases}$

Subtraindo a primeira equação equação da segunda, temos a nova equação:

$8-8b=0 =>8b=8 => b=1$

Agora, vamos subtrair a segunda equação da terceira:

$33-6a-9+6b=0=> 24-6a+6b=0=>24-6a+6\cdot1=0=>30=6a=>a=5$

Agora que temos os valores $a=5;b=1$, vamos substituí-los em uma das equações do sistema, para achar o valor de $r^2$.

Substituindo-se na terceira equação, temos:

$49-14\cdot5+5^2+1^2=r^2\\49-70+25+1=r^2\\r^2=5$

Logo, a equação da circunferência procurada é:

$(x-5)^2+(y-1)^2=5$

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