Question

Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (1,3) e que é tangente à reta s: x+y+2=0 ?

Answer 1

Se a reta é tangente à circunferência, sua distância ao centro nos dará o raio da circunferência:

$d = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\\\ d = \frac{|1+3+2|}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}} \\\\ \boxed{d = \frac{6}{\sqrt{2}}}$

Portanto, a equação é:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2} \\\\ (x-1)^{2}+(y-3)^{2} = (\frac{6}{\sqrt{2}})^{2} \\\\ (x-1)^{2}+(y-3)^{2} = \frac{36}{2} \\\\ \boxed{\boxed{(x-1)^{2}+(y-3)^{2} = 18}} \rightarrow equa\c{c}\~{a}o \ reduzida \\\\\\ x^{2}-2x+1+y^{2}-6y+9 = 18 \\\\ \boxed{\boxed{x^{2}+y^{2}-2x-6y-8 =0}} \rightarrow equa\c{c}\~{a}o \ geral$

Answer 2

Vemos que:
Ponto que situa o centro: C(1,3)
Reta tangente à circunferência: x + y + 2 = 0

Para se obter a equação da circunferência, necessitaremos desvendar antes o valor do Raio.
Percebe-se que o Raio mede a distância do Centro da Circunferência a Reta Tangente.

Logo, aplicaremos a seguinte fórmula:

distância "raio" = l ax + by + c l
                         -------------------------------
                             √( a² + b²)

Sendo:
a = valor que multiplica o "x" na equação.
b = valor que multiplica o "y" na equação.
c = termo independente da equação.
x = O valor "x" do centro da circunferência.
y = O valor "y" do centro da circunferência.

distância "raio" = l 1.1 + 1.3 + 2 l
                         -------------------------------
                             √( 1² + 1²)

distância "raio" = l 1 + 3 + 2 l
                         -------------------------------
                             √( 1 + 1)

distância "raio" = l 6 l
                         ---------------
                            √2

distância "raio" =    6 . √2
                         -------------
                              √2 . √2


distância "raio" =    6√2
                         -------------
                                 2 

distância "raio" =    3√2
                         

O Raio mede 3√2.

A equação da circunferência é dada por:

(x - valor "x" do centro)² + (y - valor "y" do centro)² = R²
(x - 1)² + (y - 3)² = (3√2)²
(x - 1)² + (y - 3)² = 18 

A equação da circunferência é: (x - 1)² + (y - 3)² = 18  "Equação Reduzida"

(x - 1)² + (y - 3)² = 18
x² - 2x +1 + y² -6y + 9y = 18 
x² + y² -2x -6y -8 = 0 

A equação x² + y² -2x -6y -8 = 0  "Equação Geral da Circunferência".