Question

Determine a e b para que a função abaixo seja contínua em R.

Answer 1

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$\sf{\underline{Determine~a~e~b~para~que~a~func_{\!\!,}\tilde{a}o~abaixo}}\\\sf{\underline{seja~cont\acute{i}nua~em~\mathbb{R}.}}\\\sf{f(x)}=\begin{cases}\sf{-x^2-24x-143,~~~x<-11}\\\sf{ax+b~~~-11\leq x\leq 0}\\\sf{e^x+a~~~x>0}\end{cases}$

solução: uma função é contínua em x=a quando

$\checkmark$f(a) está definida

$\checkmark\displaystyle\sf \lim_{x \to a}f(x)~existe$

$\checkmark\displaystyle\sf \lim_{x \to a}f(x)=f(a)$

$\sf{vamos~analisar~a~continuidade~em~x=-11}$

$\sf{f(-11)=a\cdot(-11)+b\implies f(-11)=-11a+b}$

$\displaystyle\sf \lim_{x \to -11^{+}}f(x)=\lim_{x \to -11}a\cdot(-11)+b=-11a+b$

$\displaystyle\sf \lim_{x \to -11^{-}}f(x)=\lim_{x \to -11}-x^2-24x-143\\\sf{-(-11)^2-24\cdot(-11)-143=0}$

para ser contínua o limite deve existir no ponto e ser igual no ponto daí:

$\sf{-11a+b=0\implies b=11a}$

para ter a contínuidade em R, precisamos analisar a o que acontece no intervalo [-11,0].

analogamente vamos analisar  a continuidade  em x=0

$\sf{f(0)=a\cdot0+b\implies f(0)=b}\\\displaystyle\sf \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0}ax+b=b\\\displaystyle\sf \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x \to 0}e^x+a=1+a$

para ser contínua em x=0 o limite tem que existir no ponto e ser igual ao valor no ponto portanto

$\sf{b=1+a}$

montando um sistema temos

$\begin{cases}\sf{b=11a}\\\sf{b=1+a}\end{cases}\\\sf{11a=1+a}\\\sf{11a-a=1}\\\sf{10a=1}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf a=\dfrac{1}{10}~\checkmark}}}}$

$\sf{b=11a}\\\sf{b=11\cdot\dfrac{1}{10}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf b=\dfrac{11}{10}~\checkmark}}}}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf \maltese~alternativa~a}}}}$