Question

Determine a e b em P(X) = -3x4 + ax3 - 5x2 + bx - 2 , sabendo que 1 é a raiz de p(x) e que p(2) = -80. Sendo assim os valores de a e b respectivamente , são :

-4 e 6

4 e -6

15 e -5

-5 e 15

5 e -5

Answer 1

Bom dia Irislane!

Solução!

Comentário:

Para acharmos o valor de a e b,precisamos transformar o polinômio em um sistema com duas variáveis,sendo estas a e b.

Para isso vamos substituir os dados fornecidos acima.

Sendo o polinômio.

$P(x)=-3x^{4}+a^{3} -5x^{2}+bx-2$

Como um é raiz do polinômio,logo podemos igualar a zero

$P(x)=0\\\\ P(1)=0$

$P(1)=-3x^{4}+ax^{3} -5x^{2}+bx-2$

$P(1)=-3(1)^{4}+a(1)^{3} -5(1)^{2}+b(1)-2$

$-3+a -5+b-2=0$

$a+b-10=0$

Equação1
$a+b=10$

Vamos fazer o mesmo para determinar a segunada equação.

$P(x)=-3x^{4}+a^{3} -5x^{2}+bx-2$

$P(2)=80$

$P(2)=-3(2)^{4}+a(2)^{3} -5(2)^{2}+b(2)-2$

$-3(2)^{4}+a(2)^{3} -5(2)^{2}+b(2)-2=80$

$-3(16)+a(8) -5(4)+b(2)-2=-80$

$-48+8a -20+2b-2=-80$

$8a+2b-70=-80$

$8a+2b=-80+70$

Equação 2
$8a+2b=-10$

Vamos juntar a equação 1 e 2 e transforma-la em um sistema.

$\begin{cases} a+b=10\\8a+2b=-10 \end{cases}$

Vou resolver o sistema pelo método da adição,pessoalmente acho mais fácil,mas existem outros métodos.

$\begin{cases} a+b=10.(-2)\\8a+2b=-10 \end{cases}$

$\begin{cases} -2a-2b=-20\\~~8a+2b=-10 \end{cases}$

Veja que ao multiplicar a primeira equação por menos dois a variável b se anulou ficando.

$-2a+8a-2b+2b=-20-10$

$-2a+8a=-20-10$

$6a=-30$

$a= \dfrac{-30}{6}$

$a=-5$

Vamos achar o valor de b substituindo na primeira equação.

$a+b=10$

$-5+b=10$

$b=10+5$

$b=15$

$\boxed{Resposta: a=-5~~e~~b=15 \Rightarrow Alternativa D}$

Boa tarde!
Bons estudos!