Question

Determine a e b, de modo que o sistema

3ax + 15y = 12
3x - 5y = b seja impossível.

Answer 1

Boa noite,
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Para que o sistema,
$\left \{ {{3ax+15y=12} \atop {3x-5y=b}} \right.$
seja impossível, as retas não devem se interceptar, logo, elas devem ser paralelas e não identicas.
Isolando y, para termos a equação na forma, $y=mx+b$, onde m é o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear da reta.
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$\left \{ {{15y=12-3ax} \atop {-5y=b-3x}} \right.$
$\left \{ {{15y=12-3ax} \atop {-5y=b-3x}} \right.$
$\left \{ {{y=\frac{12-3ax}{15}} \atop {y=\frac{b-3x}{-5}}} \right.$
$\left \{ {{y=\frac{4}{5}\frac{-ax}{5}} \atop {y=\frac{b}{-5}\frac{3x}{5}}} \right.$
$\left \{ {{y=\frac{-ax}{5}\frac{4}{5}} \atop {y=\frac{3x}{5}\frac{-b}{5}}} \right.$
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Temos, $m_{1}=\frac{-a}{5}$ e $m_{2}=\frac{3}{5}$
Como as retas devem ser paralelas, então, $m_{1}=m_{2}$, logo, temos,
$\frac{-a}{5}=\frac{3}{5}$
$a=-3$
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Temos, $b_{1}=\frac{4}{5}$ e $b_{2}=\frac{-b}{5}$. Agora, para o sistema ser impossível as retas não podem ser iguais, ou seja, $b_{1}$ tem que ser diferente de $b_{2}$, logo,
Admitindo que $b_{1}=b_{2}$, para encontrarmos o valor que b não pode assumir, temos,
$\frac{4}{5}=\frac{-b}{5}$
$b=-4$

Logo,
$a=-3$
e b pode ser qualquer número real diferente de -4.