Question

Determine a divergente da função F a seguir F(x,y,z) = x²z³i + 2xz³ + 2y²z²k

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o divergente da referida função vetorial é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \textrm{div}\:\vec{F}= 2xy^{3} + 4y^{2}z\:\:\:}}\end{gathered} }$  

               

Seja a função vetorial dada:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} F (x, y, z)= x^{2}y^{3}i + 2xz^{3}j + 2y^{2}z^{2}k\end{gathered}$

Organizando a função vetorial, temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{F}(x, y, z) = (x^{2}y^{3})\vec{i} + (2xz^{3})\vec{j} + (2y^{2}z^{2})\vec{k}\end{gathered}$

O divergente de uma função "F" vetorial no R³ - definido por "div F" - é o campo escalar dado pelo produto escalar do operador diferencial com a função F.  Ou seja

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{div}\:\vec{F} = \nabla\cdot\vec{F}\end{gathered}$      

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\cdot(X_{F}\vec{i},\:Y_{F}\vec{j},\,Z_{F}\vec{k})\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot X_{F}\vec{i} +\,\frac{\partial}{\partial y}\cdot Y_{F}\vec{j} +\,\frac{\partial}{\partial z}\cdot Z_{F}\vec{k}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\:(x^{2}y^{3})\:\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\:(2xz^{3})\:\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\:(2y^{2}z^{2})\:\vec{k}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2xy^{3}) \:\vec{i} + (0)\:\vec{j} + (4y^{2}z)\:\vec{k}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2xy^{3} + 4y^{2}z\end{gathered}$

Portanto, o divergente procurado é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{div}\:\vec{F}= 2xy^{3} + 4y^{2}z \end{gathered}$

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