Question

Determine a distância focal da hipérbole com a equação x2/16 - y2/9 = 1​

Answer 1

Resposta:

Clculei aqui e deu um resultado aproximado de 3

√

5  ≈  6.70820393

hipérbole

Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole

O → é o centro da hipérbole

2c → distância focal

2a → medida do eixo real ou transverso

2b → medida do eixo imaginário

c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2

OBS: Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro. como ganhar dinheiro com o hotmart

Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:½ PF1 - PF2 ½ = 2 a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

b_316_29_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_02.gif

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

b_438_29_16777215_0___images_stories_matematica_hperbole_03.gif

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

Obs: Em uma hipérbole horizontal teremos x² positivo ( a equação começa com x²), em uma vertical teremos y² positivo ( a equação começa com y²).

Hipérbole equilátera

É aquela em que a = b, ou seja, a medida do semi-eixo real é igual à medida do semi-eixo imaginário.

Cálculo da hipérbole equilátera

Sendo a = b

(eixo real sobre x) x² - y² = a²

(eixo real sobre y) y² - x² = a²

Assímptotas da hipérbole

Assímptotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas rectas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Exemplo: Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1 (-5 , 0) e

F2 (5, 0).

Solução:

Temos que:

2a = 6 → a = 3

F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:

c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:

Questões resolvidas sobre hipérbole

1) Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

SOLUÇÃO:

Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.

2) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO:

Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

Portanto a excentricidade

3) (Ufrj) Considere os pontos P (0, 0), P‚ (1, 1) e Pƒ (2, 6).

a) Determine a equação da parábola que passa por P, P‚ e Pƒ e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas;

y = 2x£ - x

b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P, P‚ e Pƒ

x = -2/15 y£ + 17/15 y

4) Qual é a medida da distância focal de uma hipérbole cuja medida do eixo imaginário é 24 e a medida do eixo real é 10 ?

(A) 22.

(B) 26.

(C) 28.

(D) 32.

Solução:

Seja a hipérbole de:

eixo real = 10 -> 2*a = 10 => a = 5

eixo imaginário = 24 -> 2*b = 24 => b = 12