Question

Determine a distância entre o ponto P e a reta r em cada caso: a) P(-1,3) e r: y-3x+6=0 b) P(3,-2) e r: 2x+y+6=0 c) P(-2,4) e r: 3x-4y-5=0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~d=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}~\biggr|~b)~d=2\sqrt{5}~\biggr|~c)~d=\dfrac{27}{5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos utilizar a fórmula para a distância entre ponto e reta.

Lembre-se que a distância medida é entre o ponto e sua projeção ortogonal na reta.

Utilizaremos os coeficientes da equação geral da reta $ax+by+c=0$ na fórmula

$d=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, na qual $x$ e $y$ serão as coordenadas do ponto que queremos descobrir a distância.

Analisemos cada caso separadamente:

a) o ponto $(-1.~3)$ e a reta $r:~y-3x+6=0$

Os coeficientes da reta são:

$\begin{cases}a=-3\\b=1\\c=6\\\end{cases}$

Substituindo-os na fórmula junto com as coordenadas do ponto, teremos

$d=\dfrac{|-3\cdot(-1)+1\cdot3+6|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$d=\dfrac{|3+3+6|}{\sqrt{9+1}}\\\\\\ d=\dfrac{|12|}{\sqrt{10}}$

Sabemos que o módulo de um número positivo é o próprio número, logo

$d=\dfrac{12}{\sqrt{10}}$

Multiplique a fração por $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ para racionalizar o denominador

$d=\dfrac{12\sqrt{10}}{10}$

Simplifique a fração

$d=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$

b) o ponto $(3, -2)$ e a reta $r:~2x+y+6=0$

Os coeficientes são

$\begin{cases}a=2\\b=1\\c=6\\\end{cases}$

Substitua-os na fórmula junto com as coordenadas do ponto, teremos

$d=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot(-2)+6|}{\sqrt{2^2+1^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$d=\dfrac{|6-2+6|}{\sqrt{4+1}}\\\\\\ d=\dfrac{|10|}{\sqrt{5}}$

Da mesma forma, calcule o módulo do número e racionalize o denominador

$d=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}$

Simplifique a fração

$d=2\sqrt{5}$

c) o ponto $(-2,~4)$ e a reta $r:~3x-4y-5=0$

Os coeficientes são:

$\begin{cases}a=3\\b=-4\\c=-5\\\end{cases}$

Substituindo-os na fórmula junto com as coordenadas do ponto, teremos

$d=\dfrac{|3\cdot(-2)-4\cdot4-5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$d=\dfrac{|-6-16-5|}{\sqrt{9+16}}\\\\\\ d=\dfrac{|-27|}{\sqrt{25}}$

Agora, temos um valor negativo em módulo. O resultado será exatamente o número entre módulo sem o sinal negativo.

$d=\dfrac{27}{\sqrt{25}}$

Simplifique a raiz, sabendo que 25 = 5²

$d=\dfrac{27}{5}$

Estas são as distâncias entre os pontos e a retas dadas.

Answer 2

Para os três casos analisados, as distâncias entre os pontos e as retas são de 3,8; 4,47 e 5,4, respectivamente.

Explicação passo a passo:

Antes de resolvermos os itens do exercício, vamos considerar que em um plano cartesiano qualquer se encontram um ponto P de coordenadas $\bold{\left(x_0;y_0 \right)}$ e uma reta r, de equação $\bold{a\cdot x+b \cdot y+c=0}$.  A distância entre o ponto P e a reta r é determinada a partir da seguinte equação:

$d=\frac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Assim, para calcularmos as distâncias requeridas nos itens dos exercícios, precisamos primeiramente determinar quais são os parâmetros a, b e c da reta e as coordenadas $\bold{x_0}$ e $\bold{y_0}$ do ponto. Em seguida, devemos aplicar a equação da distância apresentada acima.

a) $P(-1;3)$  e   $r:-3\cdot x+y+6=0$

• Coordenadas e parâmetros

$x_0=-1$;

$y_0=3$ ;

$a=-3$;

$b=1$;

$c=6$.

• Cálculo da distância entre o ponto e a reta

$d=\frac{|(-3)\cdot (-1)+(1)\cdot (3)+(6)|}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2}}$

$d=\frac{|3+3+6|}{\sqrt{9+1}}$

$d=\frac{|12|}{\sqrt{10}}$

$d=\frac{12\cdot \sqrt{10}}{10}$

$\bold{d=\frac{6\cdot \sqrt{10}}{5}}$    ou  $\bold{d=3,8}$

b) $P(3;-2)$  e   $r:2\cdot x+y+6=0$

• Coordenadas e parâmetros

$x_0=3$;

$y_0=-2$ ;

$a=2$;

$b=1$;

$c=6$.

• Cálculo da distância entre o ponto e a reta

$d=\frac{|(2)\cdot (3)+(1)\cdot (-2)+(6)|}{\sqrt{(2)^2+(1)^2}}$

$d=\frac{|6-2+6|}{\sqrt{4+1}}$

$d=\frac{|10|}{\sqrt{5}}$

$d=\frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}$

$\bold{d=2\cdot \sqrt{5}}$    ou  $\bold{d=4,47}$

c) $P(-2;4)$  e   $r:3\cdot x-4\cdot y-5=0$

• Coordenadas e parâmetros

$x_0=-2$;

$y_0=4$ ;

$a=3$;

$b=-4$;

$c=-5$.

• Cálculo da distância entre o ponto e a reta

$d=\frac{|(3)\cdot (-2)+(-4)\cdot (4)+(-5)|}{\sqrt{(3)^2+(-4)^2}}$

$d=\frac{|-6-16-5)|}{\sqrt{9+16}}$

$d=\frac{|-27|}{\sqrt{25}}$

$d=\frac{|-27|}{5}$

$\bold{d=\frac{27}{5}}$    ou  $\bold{d=5,4}$

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