Question

Determine a distância entre o centro da circunferência x²-2x+y²+6y-6=0 e a reta 3y=-4x-1 a) 4/5 b) 1 c) 5 d) 12/5 e) 1/5

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{4}{5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Dada a circunferência de equação geral $x^2-2x+y^2+6y-6=0$ e a reta $3y=-4x-1$, devemos encontrar as coordenadas do centro da circunferência e utilizar a fórmula de distância de ponto à reta.

Para encontrarmos as coordenadas do centro, devemos encontrar a equação reduzida desta circunferência. Sabemos que uma circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio de medida $r$ tem equação reduzida $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$.

Assim, utilizaremos o método de completar quadrados.

Sabendo que uma expansão binomial do tipo $(a+b)^n$ com $n=2$ é dada por $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, observe que o termo central está multiplicado por 2. Dessa forma, o método de completar quadrados consiste em encontrar a metade deste número e somarmos seu quadrado.

Na nossa equação, temos os coeficientes dos termos de primeiro grau $-2$ e $6$. Dividindo estes valores por $2$, temos, respectivamente, $-1$ e $3$. Elevando estes números ao quadrado, obtemos $1$ e $9$.

Somando estes valores em ambos os lados nossa equação, temos:

$x^2-2x+y^2+6y-6+\bold{1+9}=\bold{1+9}$

Então, reorganize os termos, a fim de encontrarmos os trinômios quadrados perfeitos na forma descrita acima na expansão.

$x^2-2x+1+y^2+6y+9-6=\bold{1+9}$

Fatorando estes trinômios, obtemos

$(x-1)^2+(y+3)^2-6=\bold{1+9}$

Somando $6$ em ambos os lados da equação, temos

$(x-1)^2+(y+3)^2=1+9+6$

Some os valores

$(x-1)^2+(y+3)^2=16$

Esta é a equação reduzida desta circunferência. Comparando ela à forma genérica, facilmente vemos que as coordenadas do centro são $(1,~-3)$.

Então, lembre-se que dada uma equação geral de reta  $ax+by+c=0$, sua distância até um ponto qualquer do plano $(x_0,~y_0)$ é dada por $d$, de fórmula:

$d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot x_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Temos a equação da reta $3y=-4x-1$

Trazendo os termos para a direita da equação, alterando seus sinais, teremos a equação geral:

$4x+3y+1=0$

Por fim, utilizando a fórmula da distância e substituindo os coeficientes da equação geral $(a=4,~b=3,~c=1)$ e as coordenadas do centro da circunferência, temos:

$d=\dfrac{|4\cdot 1+3\cdot (-3)+1|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$d=\dfrac{|4-9+1|}{\sqrt{16+9}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|-4|}{\sqrt{25}}$

Sabendo que o módulo de um número negativo se torna positivo e $\sqrt{25}=5^2$, temos

$d=\dfrac{4}{5}$

Esta é a distância entre o centro da circunferência e esta reta e é a resposta contida na letra a).