Question

Determine a distância entre o centro da circunferência a de equação x^2 +y^2-4x+6y +5=0 e a reta de equação 3x +4y-5 =0

Answer 1

Temos a seguinte circunferência (λ)

$\mathsf{(\lambda)~x^2+y^2-4x+6y+5=0}$

E a reta (r)

$\mathsf{(r)~3x+4y-5=0}$

Queremos calcular a distância entre o centro C de λ e a reta r. 

Para tanto devemos descobrir quais são as coordenadas do centro da circunferência.

Então vamos reescrever a equação da circunferência em sua forma reduzida (farei por completamento de quadrados).

$\mathsf{\mathsf{(\lambda)~x^2+y^2-4x+6y+5=0}}\\\\\mathsf{~x^2-4x+y^2+6y=-5}\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{x^2-4x+4}}_{quadrado~perfeito}}+\underbrace{\mathsf{y^2+6y+9}}_{\mathsf{quadrado~perfeito}}=\mathsf{-5+4+9}}\\\\\mathsf{~(x-2)^2+(y+3)^2=8}$

Os valores que anulam os quadrados são as coordenadas (x, y) do centro C da circunferência, ok? 

Logo, as coordenadas do centro são C = (2, -3)

Agora que sabemos as coordenadas (x, y) do centro (C) da circunferência (λ) podemos calcular a distância do centro à reta (r), utilizando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:

$\mathsf{d_{p r}=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

a e b são os coeficientes da equação da reta (c é o termo independente) e x₀ e y₀ são as coordenadas do centro da circunferência.

Substituindo os valores

$\mathsf{d_{c r}=\dfrac{|3\cdot(2)+4\cdot(-3)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}}\\\\\\\mathsf{d_{c r}=\dfrac{|6-12-5|}{\sqrt{9+16}}}\\\\\\\mathsf{d_{c r}=\dfrac{|-11|}{\sqrt{25}}}\\\\\\\mathsf{d_{c r}=\dfrac{11}{5}~~(resposta)}$