Question

Determine a distância do ponto P=(5,2,0) a reta de equação x,y,z = t (1,1,3)+(-2,1,3)

Answer 1

Olá

P=(5,2,0)

x,y,z = t (1,1,3)+(-2,1,3)

Levando a reta para as equações parametricas

$r: \left\{\begin{array}{lll}x~=-2+t~\\y~=1+t~\\z~=~3+3 t\end{array}\right$

Vetor normal da reta r é    u=(1, 1, 3)
Ponto da reta r é    A=(-2,1,3)

A fórmula da distancia de um ponto a uma reta é dada por

$d(P,r)= \frac{|\vec{AP~\text{x}~\vec{u}}|}{|\vec{u}|}$

sendo $\vec{u}$ o vetor normal da reta, e $\vec{AP}$ o vetor criado a partir do ponto dado com o ponto da reta.

$\vec{AP}=P-A=(7,1,3)$

Agora calcula o produto vetorial entre $\vec{AP} ~\text{ e } \vec{v}$

i         j         k         i         j
7       1        -3        7        1  
1       1         3        1        1             

(3i - 3j + 7k) - (21j - 3i + k)
0i -18j + 6k

calcula o módulo

$|\vec{AP}~x~\vec{v}|= \sqrt{18^2+6^2} \\ \\ |\vec{AP}~x~\vec{v}|= \sqrt{360}$


Calcula o módulo de v

$|\vec{u}|= \sqrt{1^2+1^2+3^2} \\ \\ |\vec{u}|= \sqrt{11}$

$d(P,r)= \frac{ \sqrt{360} }{ \sqrt{11} }= \frac{6 \sqrt{10} }{ \sqrt{11} } \\ \\ \\ \boxed{\boxed{d(P,r)= \frac{6 \sqrt{10} }{11} }}$