Question

Determine a distância do ponto P (3,4) à reta de equação 2x + y -1 = 0

Answer 1

✅ Distância entre ponto e reta:

A distância entre um ponto "P" e uma reta "r" é a menor distância que existe entre este ponto e a referida reta. Isto só será possível se, e somente se, o ponto "P" pertencer à reta "s" perpendicular à reta "r".

Se nos foi dado a equação da reta:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}r: 2x + y - 1 = 0 \end{gathered}$

E, também o ponto:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P(3, 4)\:\:|\:\:P\in s\perp r \end{gathered}$

Para calcular a distância entre o ponto "P" e a reta "r", utilizamos a seguinte fórmula:

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}D_{\overline{Pr}} = \frac{|aX_{P} + bY_{P} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} } \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{|2\cdot3 + 1\cdot4 + (-1)|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}} } \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{|6 + 4 - 1|}{\sqrt{4 + 1} } \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{|9|}{\sqrt{5} } \end{gathered} }$

                      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{9}{\sqrt{5} } \end{gathered} }$

                      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{9}{\sqrt{5} } \cdot\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} } \end{gathered} }$

                      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{9\sqrt{5} }{(\sqrt[\!\diagup\!\!\!\!2]{5} )^{\!\diagup\!\!\!\!2}} \end{gathered} }$

                      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{9\sqrt{5} }{5} \end{gathered} }$

✅ Portanto, a distância entre o ponto "P" e a reta "r" é:

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}D_{\overline{Pr}} = \frac{9\sqrt{5} }{5} \end{gathered} }$

Saiba mais:

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Solução gráfica: