Determine a distância do ponto p=(1,-1,2) ao plano TT: 2x-y+z=0.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A distância do ponto P ( 1 , - 1 , 2 ) ao plano π : 2 x - y + z = 0
é (5√6 ) / 6 ( valor exato) ou 2,04 u.c. (valor aproximado)
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Determine a distância do ponto P ( 1 , - 1 , 2 ) ao plano π: 2 x - y + z = 0.
Resolução:
Existe uma fórmula que dá diretamente a distância de um ponto P a um plano π .
d(P ; π ) = ( | a * xp + b * yp + c * zp + d | ) / ( √a² + b² + c²) )
[ a expressão " a² + b² + c² " está toda debaixo da raiz quadrada ]
Notas Gerais:
As coordenadas do ponto P são → xp ; yp; zp
O plano π tem a equação → ax + by + cz + d = 0
Temos uma fração em que:
→ o numerador é o módulo( | | ) de a*xp + b*yp + c*zp + d
→ o denominador é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes a ; b ; c da equação do plano π
Aplicando a este caso :
P ( 1 , - 1 , 2 ) xp = 1 ; yp = - 1 ; zp = 2
plano π: 2 x - y + z = 0 → a = 2 ; b = - 1 ; c = 1 ; d = 0
d (P ; π ) = ( | a * xp + b * yp + c * zp + d | ) / ( √a² + b² + c²) )
= ( | 2 * 1 + ( - 1 ) * ( - 1 ) + 1 * 2 + 0 | ) / ( √2² + (- 1 )² + 1²) )
= ( | 2 + 1 + 2 | ) / √6
= | 5 | / √6
Nota 2 : Módulo de um número é " o número sem sinal"
Na realidade o módulo de um número representa a sua distância ao
zero na reta dos números reais.
= 5 / √6
O denominador é √6 que é um número irracional.
O resultado deve ser apresentado racionalizando o denominador.
Para isso, neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador por √6
= ( 5 * √6 ) / ( √6 * √6 )
= (5√6 ) / ( √6 )²
Nota 3 → ( √6 )² → tirar a raiz quadrada a um número e depois elevar ao quadrado são duas operações inversas, logo é como nada tivesse sido feito.
= (5√6 ) / 6 tomando √6 ≈ 2,45
≈ 5 * 2,45 / 6
≈ 2,04 u.c.
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a ( | | ) módulo de
( ≈ ) aproximadamente ( u.c.) unidades de comprimento , usa - se esta designação quando não há indicação de unidade de comprimento.
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.
A distância entre o ponto P0 e o plano p é 5√6/6.
Essa questão é sobre a distância entre ponto e plano. Algumas considerações:
- A distância entre ponto e plano pode ser calculada pela fórmula d(P, α) = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ - d|/√(a² + b² + c²);
- onde α é o plano de equação ax + by + cz = d;
Temos então que a = 2, b = -1, c = 1, d = 0, x₀ = 1, y₀ = -1 e z₀ = 2. Substituindo na fórmula:
d(P, α) = |2·1 - 1·(-1) + 1·2 - 0|/√(2² + (-1)² + 1²)
d(P, α) = |2 + 1 + 2 - 0|/√(4 + 1 + 1)
d(P, α) = |5|/√6
d(P, α) = 5/√6
d(P, α) = 5√6/6
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