Question

determine a distancia do ponto (2,1,3) ao plano x-5z=8

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dinha, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se a distância do ponto P(2; 1; 3) ao plano cuja equação é a que demos abaixo:

x - 5z = 8

ii) Veja: como o ponto P tem três coordenadas, então a equação do plano também deverá ter três incógnitas, que deverão ser (como comumente é dado) as incógnitas "x", "y" e "z".
Vamos, então, tomar a equação do plano acima e vamos passar o "8" para o 1º membro, ficando assim:

x - 5z - 8 = 0 ---- como deveremos ter a incógnita "y" (pois o ponto P tem três coordenadas), então vamos colocar a incógnita "y" na equação deste plano, mas com o coeficiente "0". Assim, a equação do plano ficará sendo:

x + 0y - 5z - 8 = 0       . (I)

iii) Agora vamos aplicar a fórmula para encontrarmos a distância (d) ao plano que tem a equação acima. A fórmula é esta:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²)

Agora observe: os coeficientes "A", "B" "C" e "D" são os coeficientes de "x", de "y", de "z" e do termo independente da equação dada e que está lá na expressão (I) [x + 0y - 5z - 8 = 0], enquanto "x₀", "y₀" e "z₀" são as coordenadas do ponto P(2; 1; 3) . Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |1*2 + 0*1 + (-5)*3 + (-8)| / √(1² + 0² + (-5)²) --- desenvolvendo, temos:
d = |2 + 0 - 15 - 8| / √(1 + 0 + 25) ---- continuando o desenvolvimento:
d = |-21| / √(26) ----- como |-21| = 21, teremos:
d = 21 / √(26) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(26). Assim, fazendo isso, teremos:

d = 21*√(26) / √(26)*√(26)
d = 21√(26) / √(26*26) ----- note que √(26*26) = √(26²). Logo:
d = 21√(26) / √(26²) --- como o 26 do denominador está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando apenas com:

d = 21√(26) / 26 u.m. <--- Esta é a resposta. Observe que u.m. quer dizer "unidades de medida".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.