Question

Determine a derivada usando a regra da cadeia


$y= (\frac{x+2}{x^{2} +2} )^{5}$

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y= \left( \frac{x+2}{x^{2} +2} \right )^{5}$

Para derivar essa função é necessário usar a regra da cadeia, pois trata-se de uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.

A regra da cadeia é representa por:

$f{}^{n} = n .f {}^{n - 1} . f '$

Ou seja, basta aplicar a regra da potência e multiplicar esse resultado pela derivada da função que está elevada a tal expoente, ou então pode-se usar a relação mais rebuscada:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}. \frac{du}{dx}$

Por motivo de facilidade, usarei o primeiro método, então:

$\frac{dy}{dx} = 5. \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) {}^{5 - 1} . \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right)$

Agora temos outra derivada que deve ser realizada através da regra do quociente:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) = \frac{ \frac{d}{dx}(x + 2).(x {}^{2} + 2) - (x + 2). \frac{d}{dx}(x {}^{2} + 2) }{(x {}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) = \frac{1.(x {}^{2} + 2) - (x + 2).(2x)}{(x {}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) = \frac{x {}^{2} + 2 - 2x {}^{2} - 4x }{(x {}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) = \frac{ - x {}^{2} - 4x + 2}{(x {}^{2} + 2) {}^{2} }$

Substituindo esse resultado onde paramos:

$\frac{dy}{dx} = 5. \left( \frac{x + 2}{x {}^{2} + 2 } \right) {}^{4} . \ \ \frac{ - x {}^{2} - 4x + 2}{(x {}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{dy}{dx} = 5. \frac{(x + 2) {}^{4} }{(x {}^{2} + 2) {}^{4} } . \frac{ - x {}^{2} - 4x + 2 }{(x {}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{(x + 2) {}^{4} .5( - x {}^{2} - 4x + 2) }{(x {}^{2} + 2) {}^{4 + 2} } \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{(x + 2) {}^{4}.( - 5x {}^{2} - 20x + 10)}{(x {}^{2} + 2) {}^{6} } }}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

$y = ( \dfrac{x + 2}{ {x}^{2} + 2 } ) {}^{5} \\ \\ y' = 5 \times (\dfrac{x + 2}{ {x}^{2} + 2} ) {}^{5 - 1} \times \dfrac{1 \times ( {x}^{2} + 2) - (x + 2)(2 {x}^{2 - 1} + 0)}{( {x}^{2} + 2) {}^{2} } \\ \\ y' = 5 \times ( \dfrac{x + 2}{ {x}^{2} + 2 } ) {}^{4} \times \frac{( {x}^{2} + 2) - (x + 2)(2x) }{( { {x}^{2} + 2)}^{2} } \\ \\ y' = 5 \times \frac{( {x + 2)}^{4} }{ {( {x}^{2} + 2) }^{4} } \times \dfrac{ {x}^{2} + 2 - (2 {x}^{2} + 4x) }{( { {x}^{2} + 2)}^{2} } \\ \\ y' = 5 \times \dfrac{( {x + 2)}^{4} }{( { {x}^{2} + 2)}^{4} } \times \dfrac{{( - x}^{2} - 4x + 2)}{( { {x}^{2} + 2)}^{2} } \\ \\ \red{ y' = \dfrac{( - 5 {x}^{2} - 20x + 10)( {x + 2)}^{2} }{( { {x}^{2} + 2)}^{6} } }$

Bons Estudos!