Question

Determine a derivada primeira da função

Answer 1

 Sejam $g$ e $h$ duas funções e $h$ uma outra definida por $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ , a derivada de $f(x)$ será:

$f'(x)=\dfrac{g(x)\cdot h'(x)-g'(x)\cdot h(x)}{[h(x)]^2}$

 E para resolver a questão precisamos lembrar de outra derivada, que é a da potência. Seja $j(x) = x^n$ sua derivada será:

$j'(x)=n\cdot x^{n-1}$

 Lembrando que em caso de soma e subtração, podemos tirar a derivada de cada termo individualmente, que é o que faremos na questão, e a derivada de um número real é igual a 0.

-x-

$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\\\\g(x)=x^2+2\cdot x-5\\h(x)=x+1$

 Vamos tirar a derivada das funções $g(x)$ e $f(x)$:

$g'(x) = 2\cdot x^{2-1}+1\cdot2\cdot x^0\\g'(x)=2\cdot x+2\\\\h'(x)=1\cdot x^{1-1}\\h'(x)=1$

 Agora basta substituir o que temos e resolver a questão:

$f'(x)=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2\cdot x+2)\cdot(x+1)-(x^2+2\cdot x-5)\cdot1}{[x+1]^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2\cdot x^2+2\cdot x+2-x^2-2\cdot x+5}{[x+1]^2}\\\\f'(x) = \dfrac{x^2+2\cdot x+7}{[x+1]^2}$

 

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