Question

Determine a derivada parcial
f(x,y)=ln(x²+y²),

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{x^2+y^2}~\biggr|~\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada parcial desta função, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função de duas variáveis:

$f(x,y)=\ln(x^2+y^2)$

Primeiro, calculemos a derivada parcial da função em respeito à variável $x$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2+y^2))$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $[f(g(x))]'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.

Aplique a regra da cadeia

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)+\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2)\right)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

A derivada parcial em respeito à variável $x$ é calculada ao considerarmos as outras variáveis como constantes, logo

Calcule a derivada da potência e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x+0)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x}{x^2+y^2}$

Agora, calcule a derivada parcial da função em respeito à variável $y$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2+y^2))$

Aplique a regra da cadeia

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)\right)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

Calcule a derivada da potência e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=(0+2y)\cdot\dfrac{1}{x^2+y^2}$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$

Estas são as derivadas parciais de primeira ordem desta função.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as derivadas parciais da referida função são, respectivamente:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = \frac{2x}{x^{2} + y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y) = \frac{2y}{x^{2} + y^{2}}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = \ln(x^{2} + y^{2})\end{gathered}$

Observe que esta função é composta. Dessa forma suas derivadas parciais serão obtidas a parir da regra da cadeia.

Por definição se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta...

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} F = f\:o\:g\end{gathered}$

...definida por:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} F(x) = f(g(x))\end{gathered}$

...será derivável em x, sendo sua derivada definida por:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} F'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)\end{gathered}$

Além disso, devemos saber que a derivada de uma função logarítmica neperiana é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} h(x) = \ln(x)\Longrightarrow h'(x) = \frac{1}{x}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando a derivada parcial da função em termos de "x":

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{x}(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\cdot2\cdot x^{2 - 1}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{2x}{x^{2} + y^{2}}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:f_{x}(x, y) = \frac{2x}{x^{2} + y^{2}}\end{gathered} }$

• Calculando a derivada parcial da função em termos de "y":

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f_{y}(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\cdot2\cdot y^{2 - 1}\end{gathered} }$

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{2y}{x^{2} + y^{2}}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:f_{y}(x, y) = \frac{2y}{x^{2} + y^{2}}\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$