Question

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y) = ln(x^2 + y^2), P(2, 1), v = (−1, 2)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x,y) = \ln(x {}^{2} + y {}^{2} )$

Como sabemos, primeiro temos que encontrar o gradiente da função, dado por:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} , \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} \right)$

Calculando as derivadas parciais:

$\frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x} = \frac{2x }{x {}^{2} + y {}^{2} } \: \: e \: \: \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y} = \frac{2y}{x {}^{2} + y {}^{2} }$

Portanto o gradiente da função é:

$\nabla f(x,y) = \left(\frac{ 2x }{ x {}^{2} + y {}^{2} } , \frac{ 2y}{ x {}^{2} + y {}^{2} } \right)$

Agora devemos encontrar o gradiente no ponto informado, que é P(2,1), então:

$\nabla f(2,1) = \left(\frac{ 2.2 }{ 2 {}^{2} + 1 {}^{2} } , \frac{ 2.1 }{ 2 {}^{2} + 1 {}^{2} } \right) \\ \nabla f(2,1) = \left(\frac{ 4 }{ 5 } , \frac{ 2}{ 5 } \right)$

Agora devemos lembrar que a derivada na direção do vetor u é dada pela seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: D_{u}f=\nabla{f} \: . \: \left( \frac{u}{ | |u| | } \right)$

Substituindo os dados na relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: D_{u}f= \left(\frac{ 4 }{ 5 } , \frac{ 2}{ 5 } \right)\: . \: \left( \frac{- 1,2}{ | |- 1,2| | } \right) \\ \\ D_{u}f= \left(\frac{ 4 }{ 5 } , \frac{ 2}{ 5 } \right)\: . \: \left( \frac{- 1,2}{ \sqrt{( - 1) {}^{2} + (2) {}^{2} } } \right) \\ \\ D_{u}f= \left(\frac{ 4 }{ 5 } , \frac{ 2}{ 5 } \right) \: . \: \left( \frac{- 1,2}{ \sqrt{5} } \right) \\ \\ D_{u}f= \left(\frac{ 4 }{ 5 } , \frac{ 2}{ 5 } \right) \: . \: \left( - \frac{1}{ \sqrt{5} }, \frac{2}{ \sqrt{5} } \right)$

Agora fazendo o produto interno, temos:

$D_{u}f= \frac{ 4 }{ 5 } . \left( - \frac{1}{ \sqrt{5} } \right) + \frac{2}{5} . \frac{2}{ \sqrt{5} } \\ \\ D_{u}f= - \frac{4}{5 \sqrt{5} } + \frac{4}{5 \sqrt{5} } \\ \\ \boxed{ \boxed{D_{u}f=0}}$

Espero ter ajudado