Question

Determine a derivada da função vetorial:

Answer 1

Resposta:

$\frac{d\vec{r}}{dt}=\left \langle \sin(t)+t\cos(t),2t,\cos(2t)-2t\sin(2t) \right \rangle$

Explicação passo-a-passo:

Para derivar a função basta derivar as suas componentes. Começado com a componente $t\sin(t)$:

$\frac{d}{dt}(t\sin (t))=\frac{dt}{dt}\cdot\sin(t)+t\cdot\frac{d}{dt}(\sin(t))$

$\frac{d}{dt}(t\sin (t))=1\cdot\sin(t)+t\cdot\cos(t)$

$\frac{d}{dt}(t\sin (t))=\sin(t)+t\cos(t)$

A componente $t^2$ é facilmente derivável, obtendo $2t$. Por fim, a derivada da componente $t\cos(2t)$ é dada por:

$\frac{d}{dt}(t\cos(2t))=\frac{dt}{dt}\cdot\cos(2t)+t\cdot\frac{d}{dt}(\cos(2t))$

$\frac{d}{dt}(t\cos(2t))=1\cdot\cos(2t)+t\cdot(-\sin(2t))\cdot\frac{d}{dt}(2t)$

$\frac{d}{dt}(t\cos(2t))=\cos(2t)-t\cdot\sin(2t)\cdot2$

$\frac{d}{dt}(t\cos(2t))=\cos(2t)-2t\sin(2t)$

Concluindo assim que:

$\frac{d\vec{r}}{dt}=\left \langle \sin(t)+t\cos(t),2t,\cos(2t)-2t\sin(2t) \right \rangle$