Question

Determine a derivada da função tangente de x.


b) Cos2x

c) Sec2x

d) Cotg2x

Answer 1

Sabemos que $tg x = \dfrac{senx}{\cos x}.$

Sabemos também que a derivada de sen x é cos x e que a derivada de cos x é -sen x.

Sejam $f(x) = tg x, u (x) = sen x, v(x) = cos x.$

Assim, podemos usar a regra do quociente para encontrar a derivada de tan x:

$\displaystyle f^{\prime}( x )= \dfrac{u^{\prime}\cdot v - u \cdot v^{\prime}}{v^2} = \dfrac{ cos x \cdot cos x - sen x \cdot (-sen x)}{(cos x)^2}= \\ = \dfrac{(cos x)^2 + ( sen x)^2}{(cos x)^2}= \dfrac{1}{(cos x)^2} =\\=( sec x) ^2$

Logo,

$\fbox{f(x) = \tan \: x \implies \: f ^ \prime (x) = \sec ^{2} x}$

Answer 2

Ao Derivar essa função Vamos ter:

• sec² x

Acompanhe o Cálculo Abaixo

• Devemos lembrar que a fórmula do Tangente é a seguinte:

$\large \boxed{ \tan(x) = \dfrac{ \sin(x) }{ \cos(x) } }$

Para Calcular essa Derivada vamos aplicar a seguinte fórmula da diferença da Função:

$\large \: \boxed{ \sf \: D \bigg( \frac{f}{g} \bigg) = \frac{f' \cdot \: g - f \cdot \: g'}{ {g}^{2} } }$

Cálculo da Derivada:

$\large \: \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \tan(x) ' = \bigg( \dfrac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \bigg)' \\ \\ = \frac{(\sin(x))' \cdot \: \cos(x) - \sin(x) \cdot \: ( \cos(x))' }{ { \cos }^{2} x} \\ \\ = \frac{\cos(x) \cdot \: \cos(x) - \sin(x) \cdot \: (- \sin(x) ) }{ { \cos }^{2} x} \\ \: \end{array}}$

Multiplicando esses Termos Trigonométricos, eles vão ficar elevado ao quadrado, aí onde nós podemos aplicar a relação fundamental da Trigonometria, onde:

• Sen² x + cos² x = 1

$\large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf\dfrac{{ \cos}^{2} x + { \sin }^{2} }{ { \cos }^{2}x } \\ \\ = \dfrac{1}{ { \cos}^{2}x } \\ \\ {\bigg( \dfrac{1}{ \cos(x) } \bigg) }^{2} \\ \\ = { \sec}^{2} x \\ \: \end{array}}$

➡️ Resposta:

• Letra C)

$\huge \boxed{ \boxed{ \sf { \sec }^{2} x}}$

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