Question

Determine a derivada da função sen(3x)*cos(3x)

Answer 1

Resposta: 3 (cos²(3x) - sen²(3x)) ou 6cos²(3x) - 3

Explicação passo-a-passo:

A derivada de uma multiplicação (u*v) é dada por u'*v + v'*u. (I)

Temos u = sen(3x) e v = cos(3x)

Derivada de sen(x) = x'.cos(x) e a derivada de cos(x) = -x'.sen(x)

Derivando as funções trigonométricas temos:

u = sen(3x) → u' = 3cos(3x)

v = cos(3x) → v' = -3sen(3x)

Agora basta substituir na equação de derivada de produto (I):

(sen(3x)*cos(3x))' = (3cos(3x)*cos(3x)) + (-3sen(3x)*sen(3x)) = (3cos(3x)*cos(3x)) - (3sen(3x)*sen(3x)), colocando o termo em comum (3) em evidência:

3 (cos²(3x) - sen²(3x))

Sabendo que cos²(x) + sen²(x) = 1 → sen²(x) = 1 - cos²(x)

Assim, podemos substituir e simplificar:

3 (cos²(3x) - (1 - cos²(3x)) = 3(2cos²(3x) - 1) = 6cos²(3x) - 3