Question

Determine a derivada da função f(x) = x^2 − 5x utilizando a definição, isto é, f′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)−f(x) / ∆x

Answer 1

Olá, 
Considere  f(x+∆x)−f(x) / ∆x .

Substituindo a função f(x)= x^2-5x, temos 
$\frac{[(x+\triangle x)^2-5(x+\triangle x)]-[x^2-5x] }{\triangle x} =$
$\frac{[(x+\triangle x)^2-x^2-5\triangle x] }{\triangle x}$
$\frac{(x^2+2x\triangle x+(\triangle x)^2)-x^2-5\triangle x}{\triangle x} =$
$\frac{(2x\triangle x+(\triangle x)^2-5\triangle x}{\triangle x} =2x+\triangle x-5$.
 
Agora, fazendo
$\lim_{\triangle x\to 0}\frac{[(x+\triangle x)^2-5(x+\triangle x)]-[x^2-5x] }{\triangle x} = \lim_{\triangle x\to 0}2x+\triangle x-5$
decorre 

$f'(x)=\lim_{\triangle x\to 0}\frac{[(x+\triangle x)^2-5(x+\triangle x)]-[x^2-5x] }{\triangle x} = 2x-5$.
Isto é, 
f'(x)= 2x-5

Bons estudos.