Question

Determine a derivada da função f(x)=e^cos x

Answer 1

Se definirmos as funções $\mathsf{m(x)=e^{x},\,\,n(x)=cos\,x}$, temos que

$\mathsf{m\big(n(x)\big)=e^{n(x)}=e^{cos\,x}=f(x)}$

Logo, vemos que f é a composição de duas funções, com isso, podemos derivá-la usando a regra da cadeia:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}\big[m\big(n(x)\big)\big]=m'\big(n(x)\big)\cdot n'(x)}}$

Achando as derivadas de m e n:

$\bullet\,\,\mathsf{m'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}}\\\\\bullet\,\,\mathsf{n'(x)=\frac{d}{dx}cos\,x=-sen\,x}$


Então, pela regra da cadeia,

$\mathsf{f'(x)=m'\big(n(x)\big)\cdot n'(x)}\\\\\mathsf{f'(x)=m'\big(cos\,x\big)\cdot\big(-sen\,x\big)}\\\\\mathsf{f'(x)=e^{cos\,x}\cdot\big(-sen\,x\big)}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{f'(x)=-sen\,x\cdot e^{cos\,x}}}}$

Answer 2

Uma outra maneira de resolver tal problema seria aplicando o logaritmo natural em ambos os lados e em seguida deriva-los da seguinte forma:

$y=e^{cosx} \\ ln(y)=ln(e^{cosx}) \\ ln(y)=cosx.(lne),como,ln(e)=1 \\ ln(y)=cosx \\ ( ln(y))'=(cosx)' \\ \frac{1}{y} .y'=-senx,(mas,y= e^{cosx} ) \\ \\ y'=y(-senx) \\ y'=-e^{cosx} senx$