Question

Determine a derivada da função f(x) = 3√x +5 ∛x+10, como faço passo a passo, Por favor.

Answer 1

Olá

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y=f(x)

Vamos  transformar todas as raizes em potencias, com e seguinte propriedade.

$\displaystyle \sqrt[m]{x^n} ~=~x^{ \frac{n}{m} }$

$\displaystyle y=3 \sqrt{x} +5 \sqrt[3]{x} +10 \\ \\ y=3\cdot(x)^{ \frac{1}{2} }~+~5\cdot (x)^{ \frac{1}{3} }~+~10 \\ \\ \text{Agora e so derivar. A regra de deriva potencia e} \\ \\ y=x^p~~~\longrightarrow~~~y'=p\cdot x^{p-1} \\ \\ \\ y=3\cdot(x)^{ \frac{1}{2} }~+~5\cdot (x)^{ \frac{1}{3} }~+~10 \\ \\ y'=3\cdot \frac{1}{2} \cdot x ^{ \frac{1}{2}-1 }~+~5\cdot \frac{1}{3} \cdot x^ {\frac{1}{3}-1 } ~+~0 \\ \\ y'= \frac{3}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2} }~+~ \frac{5}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3} }$

Para não deixar o 'x' com expoente negativo, vamos coloca-lo no denominador, com isso o expoente ficara positivo.

$\displaystyle y'= \frac{3}{2x^{ \frac{1}{2} }} ~+~ \frac{5}{3x^{ \frac{2}{3} }} \\ \\ \\ \text{E por ultimo, volta para a forma de raiz} \\ \\ \\ \boxed{y'=\frac{3}{2 \sqrt{x} } ~+~ \frac{5}{3 \sqrt[3]{x^2} }}~~~~~~~ ~~~~ ~\longleftarrow~\text{Essa e a derivada}$