Question

Determine a derivada da função f(x) = 2x² utilizando a definição de derivada.

A resposta é 4x, caso utilize aquela regra do f'(x) = n.x^n-1

Porém, como eu chego a esse resultado utilizando a definição de derivada?

Answer 1

Resposta:

Dada a função:

$f(x) = 2x^2,$

calculemos sua derivada:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\= \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^2-2x^2}{h}\\\\= \lim_{h \to 0} \frac{2(x^2 + 2xh + h^2)-2x^2}{h}\\\\= \lim_{h \to 0} \frac{2x^2+4xh+2h^2-2x^2}{h}\\\\= \lim_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2}{h}$

Podemos dividir ambos – numerador e denominador – por $h$, pois $h \neq 0.$ Continuando:

$= \lim_{h \to 0} 4x + 2h\\\\= 4x + 2(0)\\\\= 4x.$