Question

Determine a de modo que (a², (a+1)², (A+5)²) seja uma PA.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marta, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de "a" para que a sequência baixo seja uma PA:

[a²; (a+1)²; (a+5)²]

Agora veja isto: para que a sequência acima seja uma PA, então a razão (r) é constante e será encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente, ou seja, para que a sequência acima seja uma PA, então a razão (r) deverá ser encontrada da seguinte forma:

(a+5)² - (a+1)² = (a+1)² - a² ------ desenvolvendo, teremos:

(a²+10a+25) - (a²+2a+1) = (a²+2a+1) - a² ---- agora vamos retirar os parênteses, ficando toda a expressão da seguinte forma:

a² + 10a + 25 - a² - 2a - 1 = a² + 2a + 1 - a² ---- reduzindo os termos semelhantes em cada um dos membros, ficaremos:

8a + 24 = 2a + 1 ---- passando tudo o que tem "a" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, vamos ficar da seguinte forma:

8a - 2a = 1 - 24
6a = - 23
a = - 23/6 <---- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "a" para que a sequência acima seja uma PA.

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos ver se, ao substituirmos "a" por seu valor ora encontrado (a = - 23/6), a sequência tornar-se-á, realmente uma PA. Vamos ver isto.
Tem-se que a sequência é esta:

[a²;  (a+1)²; (a+5)²] ----- substituindo-se "a" por "-23/6", teremos:

[(-23/6)²; (-23/6 + 1)²; (-23/6 + 5)²]

Agora veja que:
(-23/6 + 1) = (1*(-23)+6*1)/6 = (-23+6)/6 = (-17/6)
e
(-23/6 + 5) = (1*(-23)+6*5)/6 = (-23+30)/6 = (7/6)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

[(-23/6)²; (-17/6)²; (7/6)²] ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:

[529/36; 289/36; 49/36]

Veja que a sequência acima é uma PA decrescente, cuja razão (r) é igual a: "-240/36". Veja que a subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente é igual a "-240/36". Veja como isto é verdade:

49/36 - 289/36 = 289/36 - 529/36 ----- como o denominador é comum, então poderemos fazer assim:

(49 - 289)/36 = (289-529)/36
(-240)/36 = (-240)/36 ----- ou apenas:
- 240/36 = - 240/36 <--- Veja como é verdade que se trata, realmente, de uma PA decrescente, cuja razão é igual a "-240/36".

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Como temos a razão dessas duas formas.

r = (a+1)²-a²
r = (a+5)²-(a+1)²

Logo, igualando temos:

(a+1)²-a² = (a+5)²-(a+1)²

a²+2a+1-a²= (a+5)²-(a+1)²

2a+1 = a²+10a+25-(a²+2a+1)

2a+1-a²-10a-25 = -a²-2a-1

2a-a²-10a+a²+2a = -1-1+25

-6a = 23

a= -23/6