Question

Determine a condição para o polinômio f=(ax + b)2 + (cx+d)2, em que a, b, c, d são reais e não nulos, seja um quadrado perfeito

Answer 1

$\displaystyle \sf f(x) = (ax+b)^2+(cx+d)^2 \\\\ f(x) = a^2\cdot x^2+2 a b\cdot x+b^2+c^2\cdot x^2+2 c d \cdot x+d^2 \\\\ f(x) = (a^2+c^2)\cdot x^2+(2ab+2cd)\cdot x+b^2+d^2 \\\\ \underline{\text{Se f(x) {\'e} quadrado perfeito entao podemos escreve-lo assim}} : \\\\ f(x) = (mx+n)^2 \\\\ f(x) = m^2\cdot x^2+2\ m n\cdot x +n^2 \\\\ Da{\'i}}: \\\\ m^2 = a^2+c^2 \\\\\ n^2 = b^2+d^2 \\\\ 2mn = 2ab+2cd \to mn = ab+bc \\\\ \text{Fa{\c c}amos }: \\\\ (mn)^2 = (ab+cd)^2 \\\\ m^2n^2 = a^2b^2+2ab.cd+c^2d^2$

$\sf (a^2+c^2)\cdot (b^2+d^2) = a^2b^2+2abcd+c^2d^2\\\\ a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2 = a^2b^2+2abcd+c^2d^2 \\\\ a^2d^2-2abcd+b^2c^2 = 0 \\\\ (ad-bc)^2= 0 \\\\ ad - bc = 0 \\\\ \underline{\text{Portanto a condi{\c c}{\~a}o para q f seja um quadrado perfeito {\'e}}}: \\\\ \ \huge\boxed{\sf ad = bc}\checkmark$