Question

Determine a condição entre a e b para que o polinômio “x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4” seja um quadrado perfeito.

Answer 1

Queremos que o polinômio seja um quadrado perfeito. Logo:

x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = (x2 + m.x + n)2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = [x2 + (m.x + n)]2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2.x2.(m.x + n) + (m.x + n)2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2.x2.(m.x + n) + m2.x2 + 2m.x.n + n2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2.x2.(m.x + n) + m2.x2 + 2mn.x + n2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2m.x3 + 2n.x2 + m2.x2 + 2mn.x + n2
x4 + ax3 + bx2 + 8x + 4 = x4 + 2m.x3 + (2n + m2).x2 + 2mn.x + n2

Comparando os termos:
n² = 4  ⇒  n = +-√4 ⇒ n = 2 ou n = - 2

Para n = 2:
2mn = 8  ⇒  2.m.2 = 8  ⇒  m = 2
b = 2n + m²  ⇒  b = 2.2 + 4 = 8
a = 2m = 2.2 = 4

Para n = - 2:
2mn = 8  ⇒  2.m.(- 2) = 8  ⇒  m = - 2
b = 2n + m²  ⇒  b = 2.(- 2) + (- 2)² = - 4 + 4 = 0
a = 2m = 2.(- 2) = - 4

Portanto, o polinômio será um quadrado perfeito apenas se:
a = 4 e b = 8
ou
a = - 4 e b = 0.