Question

determine a condição de existência de cada logaritmo :


a)log3 (x^2-5x+6)
b)log (3x+9)6
c)log (x+1). (2-x)

Answer 1

Vamos lá.

São pedidas as condições de existência das seguintes expressões logarítmicas, que vamos chamar, cada uma, de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa. Então vamos ver cada uma.

a) y = log₃ (x²-5x+6).

Veja: só há logaritmos de números positivos (> 0). Então vamos impor que o logaritmando (x²-5x+6) seja maior do que zero. Assim:

x² - 5x + 6 > 0

Vamos encontrar quais são as raízes da equação acima. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais e veremos onde a função dada é positiva e negativa, para podermos escolher apenas os valores de "x" que farão com que a equação dada seja positiva.
Para encontrar suas raízes vamos igualá-la a zero. Assim:
x² - 5x + 6 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 2 e x'' = 3  <--- Estas são as raízes da equação "x²-5x+6 = 0".

Agora vamos estudar a variação de sinais dela e ver quais os valores de "x" que fazem com que a equação dada seja positiva. Assim:

x² - 5x + 6 > 0 .. + + + + + + + (2) - - - - - - - - -  (3) + + + + + + + + + +

Assim, como você poderá concluir pela leitura do gráfico acima, nota-se que a função será positiva para x < 2 ou para x > 3. Então será esta a condição de existência da expressão logarítmica do item "a".
Logo, a resposta para a questão do item "a" é esta:

x < 2 , ou x > 3 ----- Esta é a resposta para o item "a".

Se quiser,poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < 2, ou x > 3}

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = {-∞; 2) ∪ (3; +∞)


b) y = log₍₃ₓ₊₉₎ (6) ---- (ou seja: logaritmo de "6", na base "3x-9")

Veja: as bases de logaritmos têm que ser positivas (>0) e, além disso, também têm que ser diferentes de "1".
Assim, deveremos impor que a base (3x-9) deverá ser:

3x + 9 > 0
3x > - 9
x > -9/3
x > -3

e

3x + 9 ≠ 1
3x ≠ 1-9
3x ≠ -8
x ≠ -8/3

Assim, a condição de existência para a expressão do item "b" será:

x > -3 e x ≠ -8/3 , o que poderia ser representado no seguinte intervalo:
- 3 < x < -8/3, ou x > -8/3 ---- Esta é a resposta para o item "b".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x > -3 e x ≠ -8/3} ou S = {x ∈ R | -3 < x < -8/3, ou x > -8/3}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderia ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-3; -8/3) ∪ (-8/3: +∞)


c) log₍ₓ₊₁₎ (2-x) -----(ou seja: logaritmo de (2-x) na base "x+1")

Agora vamos para as condições de existência da base (x+1) e do logaritmando (2-x).

c.i) Quanto à base, já sabemos que ela terá que ser positiva (>0) e, além disso, deverá ser também diferente de "1". Assim, quanto à base deveremos ter isto:

x+1 > 0
x > -1
 
e
 
x+1 ≠ 1
x ≠ 1-1
x ≠ 0

c.ii) Quanto ao logaritmando também já sabemos que ele deverá ser positivo (> 0). Assim, vamos impor que (2-x) seja positivo. Logo: 

2 - x > 0
- x > - 2 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
x < 2 ---- Esta é a condição de existência para o logaritmando.

c.iii) Agora veja: entre o "x" ter que ser maior do que "-1" e diferente de "0" quanto à base,  e ter que ser menor do que "2" quanto ao logaritmando, então teremos que ver a intersecção desses intervalos. Assim (colocaremos o que vale para cada condição com o símbolo /////// e colocaremos a intersecção com o símbolo ||||||):

x > -1 .... _________ (-1) / / / / / / / / / / / / / / / / 
x ≠ 0 ..... / / / / / / / / / / / / / / / /  (0) / / / / / / / / /
x < 2 .... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (2) __________
Intersecção _____(-1)| | | | | | I I(0) | | | | | | | | |(2)

Assim, como se vê acima, a intersecção está no seguinte intervalo:

-1 < x < 0 , ou 0 < x < 2 ----- Esta é a resposta para o item "c".

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -1< x < 0, ou 0 < x < 2}

Ou, ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-1; 0) ∪ (0; 2)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.