Question

Determine a área total da região entre a curva y=x^3-3x^2+2x e o eixo x com 0 <x<2.

Answer 1

Primeiramente vamos determinar as raízes da função.

${x}^{3} - 3 {x}^{2} + 2x = 0 \\ x( {x}^{2} - 3x + 2) = 0 \\ x( {x}^{2} - x - 2x + 2) = 0 \\ x(x(x - 1) - 2(x - 1)) = 0$

$x(x - 1)(x - 2) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2$

Para achar a área entre curva e o eixo x vamos utilizar duas integrais:

a primeira no intervalo [0,1] e a segunda no intervalo [1,2].

Calculando a primeira área temos :

$∫ ({x}^{3} - 3 {x}^{2} + 2x)dx \\ = \frac{1}{4}{x}^{4} - 3. \frac{1}{3} {x}^{3} + 2 . \frac{1}{2} {x}^{2}$

$= \frac{1}{4} {x}^{4}-{x}^{3} + {x}^{2}$

Substituindo os limites de integração temos:

$\frac{1}{4}.{1} ^{4} - {1}^{3} + {1}^{2} = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$

A área da primeira região vale ¼ u.a

Calculando a segunda área temos:

$∫ - ({x}^{3} - 3 {x}^{2} + 2x)dx \\ = - \frac{1}{4} {x}^{4} + {x}^{3} - {x}^{2}$

Substituindo os limites de integração temos:

$- \frac{1}{4} . {2}^{4} + {2}^{3} - {2}^{2} = - 4 + 8 - 4 \\ = 0$

$- \frac{1}{4}.{1}^{4} + {1}^{3} - {1}^{2} = - \frac{1}{4}$

A área total é dada pela soma das regiões

Ou seja

$A = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$