Question

Determine a Área pintada: ​

Answer 1

Resposta:

0,64 m²

Explicação passo a passo:

Inicialmente, uniremos os centros dos três círculos para formarmos um triângulo equilátero e lados iguais (4 m). Em seguida, calcularemos a área total do triângulo formado para, depois, subtrair dessa as áreas de cada setor circular formado nos círculos.

Bom, partiremos para o cálculo da área do triângulo. Para isso, admitiremos sua altura $h$ com lados de 4 m cada. Assim:

$4^{2}=2^{2}+h^{2}\\16=4+h^{2}\\12=h^{2}\\h=2\sqrt{3} m$

Calculando a área do triângulo...

$A_{triangulo}=b*h/2\\A_{triangulo}=4*2\sqrt{3}/2\\A_{triangulo}=4\sqrt{3} m^{2}$

Agora, calcularemos a área dos setores circulares. Por serem idênticos (60º) terão a mesma área. Portanto, calcularemos a área de qualquer um dos três setores e multiplicaremos por 3.

Bom, se considerássemos um círculo inteiro, teríamos que $A_{circulo}=\pi *r^{2}$, considerando 360º. Contudo, o nosso setor tem apenas 60º, sendo, portanto, $\frac{1}{6}$ parte de uma circunferência completa - $360/60=6$ partes iguais.

Assim, a área do setor circular de 60º é:

$A_{setor60}=\frac{1}{6}*\pi *r^{2}=\frac{\pi*r^{2} }{6}\\A_{setor60}=\pi *2^{2}/6\\A_{setor60}=4*\pi /6\\A_{setor60}=2*\pi /3$

Como são três setores, multiplicaremos por 3 como dito anteriormente.

$A_{3setores}=3*(\frac{2\pi }{3} )\\A_{3setores}=2\pi$

Agora só nos falta subtrair de $A_{triangulo}$ o valor de $A_{3setores}$.

$A_{pintada}=A_{triangulo}-A_{3setores}\\A_{pintada}=4\sqrt{3}-2\pi$

(Considerando $\sqrt{3}=1,73$ e $\pi =3,14$)

$A_{pintada}=(4*1,73)-(2*3,14)\\A_{pintada}=6,92-6,28\\A_{pintada}=0,64 m^{2}$