Question

Determine a área limitada pelas curvas y=x^2 e y=-x^2+6x​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, é necessário definir a região limitada por essas curvas. Assim, precisamos encontrar o(s) ponto(s) em que as curvas se interceptam. Para isso, fazemos:

x^2 = -x^2 + 6x    =>   2x^2 - 6x = 0   => x = 0 e x = 3.

Logo, as funções se interceptam em 0 e 3.

Sabemos pelo teorema fundamental do cálculo que a área limitada por uma curva é dada pela integral da função que a define. Desse modo, podemos calcular a área limitada pelas curvas do seguinte modo:

$S = \int\limits^3_0 {-x^2 + 6x} \, dx - \int\limits^3_0 {x^2} \, dx \\\\S = [\frac{-2x^3}{3} + 3x^2]|\limits^3_0 \\\\S = (-18 + 27) - (0 + 0) \\\\S = 9$

Bons estudos!