Question

determine a area entre as curvas y=x² e y=8-x²

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor do área entre as curvas é igual a 64/3 u.a (unidades de área)

• Vamos entender ou por quê?

Nosso objetivo é calcular a área entre essas duas curvas definidas como y=x² e y=8-x².

Lembre-se que a área entre as curvas é igual à área da curva acima menos a área da curva abaixo. A área desta região pode ser calculada usando uma integral definida da seguinte forma:

$\displaystyle \sf A _T= \int^{x _2} _ {x_1} \left[ g(x) - f(x)\right] dx$

Onde $\sf x_1$ e $\sf x _2$ são as interações entre ambas as curvas. Para calcular as interações de ambas as curvas podemos igualdade ambas as equações das curvas.

• Se igualarmos a equação y = x² e y = 8 - x², obtemos:

$\sf x^2 = 8 - x^2\\\\\\\\ \sf x^2 - 8 + x^2 =0\\\\\\\\\sf 2 x^2- 8=0$

Esta equação é conhecida como uma equação quadrática incompleta, pois uma equação quadrática é escrita como ax² + bx + c = 0 e temos ax² + c = 0, então para resolver uma equação quadrática incompleta não é necessário aplicar a fórmula de Bhaskara, pois com o simples fato de despejar x estamos encontrando as soluções.

$\sf 2 x^2=8\\\\\\\\ \sf x^2=\dfrac{8}{2} \\\\\\\\\sf x^2=4\\\\\\\\ \sf x=\pm\sqrt{4}\\\\\\\\ \sf x=\pm 2$

Vemos que os valores de x que satisfazem essa equação são -2 e 2, então nossos intervalos de integração são iguais a -2 e 2. Então nossa integral será:

$\displaystyle \sf A _ T= \int^{2} _ {-2} \left[ g(x) - f(x)\right] dx\\\\\\\\\displaystyle \sf A _ T= \int^{2} _ {-2} g(x) dx- \int^{2} _ {-2} f(x) dx$

Substituindo as equações das curvas em suas partes correspondentes:

$\displaystyle \sf A _ T=\overbrace{\sf\left( \int^{2} _ {-2} 8-x ^2 dx\right)}^{\sf A_2}-\underbrace{ \left( \sf \int^{2} _ {-2} x^2 dx\right)}_{\sf A_1}$

Para calcular a área total entre as curvas podemos resolver as integrais separadamente, ou seja, primeiro calculamos a área 1 ($\sf A _1$) e depois calculamos a área 2 ($\sf A _2$). Calculamos a área da curva y = x² entre os intervalos de integração de 2 a -2.

$\displaystyle \sf A _ 1 = \int ^2_{-2} x^2 dx$

Para resolver ou calcular uma integral definida, calcule a integral sem levar em conta os limites de integração. Em seguida, avalia-se o resultado da integral, subtraindo-se o valor obtido pela substituição do limite inferior de integração daquele obtido pela substituição do limite superior de integração.

Primeiramente calculamos o valor dessa integral sem levar em conta os limites de integração, como é uma integral com potência podemos usar a regra da potência, esta regra é apresentada como: $\displaystyle \sf \int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C$

Fazendo isso obtemos

$\displaystyle \sf A _ 1 = \left[\dfrac{x^{2+1}}{2+1}\right]^2 _{-2}\\\\\\\\\displaystyle \sf A _ 1 = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]^2 _{-2}$

Avaliando "x" em seus limites inferior e superior de integração.

$\displaystyle \sf A _ 1 = \left[\dfrac{2^3}{3}\right]-\left[ \dfrac{-2^3}{3} \right] \\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ 1 = \left[\dfrac{8}{3}\right]-\left[ -\dfrac{8}{3} \right]\\\\\\\\\displaystyle \sf A _ 1 = \dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _1=\dfrac{16}{3}~u.a$

Agora vamos calcular a área presente na curva y = 8-x², entre os intervalos de 2 e -2.

$\displaystyle \sf A _ 2 = \int ^2_{-2} 8 - x^2 dx$

Para calcular esta integral vamos aplicar a regra da adição pois se aplicarmos esta regra obtemos integrais mais simples, a regra da adição é representada como: $\sf \int f(x) \pm g(x) dx= \int f(x) dx- \int g(x)dx$

Fazendo isso obtemos:

$\displaystyle \sf A _ 2 = \int ^2_{-2} 8dx - \int ^2_{-2} x^2 dx\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ 2 =8 \int ^2_{-2} dx - \int ^2_{-2} x^2 dx\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ 2 =\left[8x- \dfrac{x^3}{3} \right]^2_{-2}\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ 2 =\left[8(2)- \dfrac{2^3}{3} \right]-\left[8(-2) -\dfrac{-2^3}{3}\right]\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ 2 =\left[16- \dfrac{8}{3} \right]-\left[-16 +\dfrac{8}{3}\right]\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _2= \left[\dfrac{40}{3} \right]-\left[-\dfrac{40}{3}\right]\\\\\\\\ \sf A _2= \dfrac{80}{3}~u.a$

A área total entre ambas as curvas é igual à subtração das áreas de cada curva.

$\displaystyle \sf A _ T= \dfrac{80}{3}~u.a - \dfrac{16}{3}~u.a\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _ T =\dfrac{64}{3}~u.a\\\\\\\\ \displaystyle\boxed{\boxed{\sf A _T =21{,}3\overline{\sf 3}~u.a}}$

Conclusão: Feitos os cálculos, chegamos à conclusão de que a área entre as duas curvas é igual a 64/3 u.a.