Question

Determine a área e os quatro vértices de um paralelogramo cujos lados não
paralelos medem 3 e 4 respectivamente, estão sobre as retas u e v, e um de seus
vértices é o ponto de interseção dessas retas.
u :



x = 4 + 3t
y = 1 + t
t ∈ R v :



x = −4 − 2s
y = 1 + 2s
s ∈ R

Answer 1

A área do paralelogramo formado pelas retas u e v é $\frac{24}{5}\sqrt{5}$.

Como se achar a área do paralelogramo formado pelas duas retas?

A área de um paralelogramo é igual ao produto entre a base e a altura, sendo a altura a distância entre a base e seu lado paralelo. Se $\theta$ for o ângulo entre os dois lados não paralelos, tem-se:

$A=B.h=B.C.sen(\theta)$

Sendo B e C as medidas dos dois lados não paralelos. Se estes lados estiverem sobre as retas u e v, devemos calcular o ângulo entre elas. Os vetores diretores dessas retas são (3,1) para u e (-2,2) para v. Com o produto escalar podemos achar o cosseno desse ângulo:

$\vec{u}.\vec{v}=||u||.||v||.cos(\theta)=x_u.x_v+y_u.y_v\\\\cos(\theta)=\frac{x_u.x_v+y_u.y_v}{||u||.||v||}=\frac{3.(-2)+1.2}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{(-2)^2+2^2}}=\frac{-4}{\sqrt{80}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

O seno desse ângulo pode ser calculado através da relação pitagórica:

$sen(\theta)=\sqrt{1-cos^2(\theta)}=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{5}})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}\\\\sen(\theta)=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$

Se as medidas dos lados do paralelogramo forem 3 e 4, podemos achar sua área como segue:

$A=3.4.cos(\theta)=3.4.\frac{2}{5}\sqrt{5}=\frac{24}{5}\sqrt{5}$

Saiba mais sobre o produto escalar em https://brainly.com.br/tarefa/20606986

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