Question

determine a area e o perímetro do triangulo:

Answer 1

Pela Lei dos Cossenos :

x² = 120² + 80² - 2.120.80. cos 60°
x² = 14400 + 6400 - 2 . 9600 . 0,5
x² = 20800 - 9600
x² = 11200
x = 40√7

→ O perímetro do triângulo é :

2p = 120 + 80 + 40√7
2p = 200 + 40√7
2p = 40.( 5 + √7 )

→ A área do triângulo é :

∴ Sendo p = 100 + 20√7 o semiperímetro , a = 120 , b = 80 e c = 40√7

$A = \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$

→ Agora vou substituir direto na conta ( porque é muito grande e não coube todos os valores na fórmula ) , então vou fazer a primeira parte das contas ( que é subtração ) direto

$A = \sqrt{(100+20\sqrt{7}).(20 \sqrt{7}-20).(20\sqrt{7}+20).(100-20 \sqrt{7}) }$

→ Vou ''ajeitar'' os termos da fórmula para que você perceba a presença do produto notável ( diferença de dois quadrados ) : (a-b).(a+b) = a² - b² . Então aplicando isso a expressão da área teríamos :

$A = \sqrt{(100+20 \sqrt{7}).(100-20 \sqrt{7}).(20 \sqrt{7}-20).(20 \sqrt{7} +20) }$
$A = \sqrt{[(100)^2-( 20 \sqrt{7})^2] . [ ( 20\sqrt{7})^2 - (20)^2]}$
$A = \sqrt{[ 10000 - 2800].[2800-400]}$
$A = \sqrt{[7200].[2400]}$

→ Vou fatorar a expressão acima em fatores menores para poder tirar da raiz quadrada

$A = \sqrt{72.100.24.100}$
$A = \sqrt{36.2.(100^2).8.3}$
$A = \sqrt{(6^2).(100^2).(4^2).3}$
$A = 100.6.4 \sqrt{3}$
$A = 2400\sqrt{3} \ m^2$