Question

Determine a área dos polígonos regulares seguintes nos quais a unidade das medidas indicadas é o centímetro

Answer 1

Resposta:

a) Temos um hexágono regular, ou seja, se dividirmos esse hexágono em seis triângulos a partir do centro do hexágono até seus vértices, obteremos seis triângulos isósceles congruentes e, além disto, com um ângulo de 60° entre seus lados de mesma medida. Aplicando-se a lei dos cossenos em um desses triângulos, poderemos calcular o valor de cada um dos lados congruentes dos triângulos. Desta forma:

8² = l² + l² - 2*l*l*cos60°

64 = 2l² - 2l²*1/2

64 = 2l² - l²

l² = 64

l = 8.

Ou seja, temos seis triângulos equiláteros congruentes de lado 8. Encontrando a área de um desses triângulos e multiplicando esse valor por 6, obteremos a área do hexágono. Daí:

A = 6*l²√3 /2

A = 6*8²√3 /2

A = 6*64√3 /2

A = 384√3 /2

A = 192√3cm²

b) Temos um hexágono regular e também que, se o dividirmos em seis triângulos equiláteros, a altura de cada triângulo vale 9cm. Dividindo um desses triângulos ao meio, podemos aplicar  o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de seu lado. Desta forma:

l² = (l/2)² + 9²

l² = l²/4 + 81

l² - l²/4 = 81

4l²/4 - l²/4 = 324/4

3l² = 324

l² = 108

l = 6√3

Assim, podemos calcular a área do hexágono como calculamos no item a)

A = 6*l²√3 /2

A = 6*(6√3)²√3 /2

A = 6*108√3 /2

A = 324√3cm²

c) Temos um pentágono regular, onde, se dividimo-lo em cinco triângulos isósceles, obteremos triângulos com dois lados medindo 2,5 e altura 2. Dividindo um desses triângulos ao meio, podemos encontrar o valor de sua base utilizando o teorema de Pitágoras. Desta forma:

2,5² = 2² + (l/2)²

6,25 = 4 + l²/4

l²/4 = 6,25 - 4

l²/4 = 2,25

l² = 9

l = 3.

Assim, como temos o valor da base e da altura de cada um dos triângulos, podemos calcular a área de cada um e, se multiplicarmos por 5, obteremos a área do pentágono.

A = 5*3*2/2

A = 30/2 = 15cm²

d) Mesma lógica do item c).

15² = 12² + (l/2)²

225 = 144 + l²/4

l²/4 = 225 - 144

l²/4 = 81

l² = 324

l = 18.

A = 7*18*12/2

A = 1512/2 = 756cm².

Explicação passo-a-passo: