Question

DETERMINE A AREA DO TRIANGULO FORMADA PELO VERTICES DOS PONTO MEDIOS DO TRIANGULOA(-1,2)b(-3,4)C(-2,1)

Answer 1

Podemos fazer de duas formas.

--> Calcular o ponto médio de cada lado do triangulo e, posteriormente calcular a área formada por estes pontos. (Mais Trabalhoso)

--> Calcular a área do triangulo ABC e dividir o resultado por 4, pois é sabido que, a área do triangulo formado pelos pontos médios de outro triangulo é igual a quarta parte da área do triangulo original. (Mais Rápida)

Vamos utilizar a segunda forma listada. Utilizando o método do determinante, a área do triangulo ABC é dado por:

$Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|\left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|\right|\\\\\\\\Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|\left|\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-3&4&1\\-2&1&1\end{array}\right|\right|\\\\\\\\Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|(-1.4.1+(-3).1.1+(-2).2.1)-(1.4.(-2)+1.1.(-1)+1.2.(-3))\right|\\\\\\Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|(-4-3-4)-(-8-1-6)\right|\\\\\\Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|(-11)-(-15)\right|$

$Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|-11+15\right|\\\\\\Area(ABC)~=~\frac{1}{2}~.~\left|4\right|\\\\\\\boxed{Area(ABC)~=~2}$

Como falado anteriormente, a área do triangulo formado pelos pontos médios é a quarta parte da area de ABC, logo:

$Area~=~\frac{1}{4}~.~Area(ABC)\\\\\\Area~=~\frac{1}{4}~.~2\\\\\\\boxed{Area~=~\frac{1}{2}~~ou~~0,5~unidades~de~area}$

Answer 2

Para começarmos é bom fazer um desenho do triângulo, para termos noção de como ele ficará no plano cartesiano.

Em seguida podemos calcular os pontos médios, em que as fórmulas são dadas a seguir :

Pmx=Xa+Xb/2

Pmy= Ya+Yb/2

Dessa forma você acha as coordenadas dos pontos médios. A resolução estará nas fotos, para cada ponto.

Logo você descobre que os pontos médios valem : (-5/2; 5/2), (-3/2; 3/2) e (-2; 3).

Sabendo que a área em geometria analítica de pontos, pode ser calculada pelo módulo do determinante dividido por 2 :

A =|D|/2

Então, para calcular o determinante, eu farei pelo seguinte método, que é derivado da regra de Sarrus, em que você:

Você monta a coluna com os três pontos e repete o ponto que você começou. Em seguida, na parte direita, você irá multiplicar as diagonais dessa coluna, e manter o sinal de cada número.

Concomitantemente, do lado esquerdo você fará o mesmo procedimento, só que você trocará os sinais.

No final some todos os valores.

Após isso, você achará o Determinante (D). Então o resultado dará 1, tire o módulo de 1( que dará 1), em seguida dívida por 2, e você encontrará a resposta:

A=|D|/2

A=|1|/2

A=1/2

A= 0,5 unidades de área

Portanto, a área desse triângulo será 0,5 unidades de área.

Observação: A resolução está presente nas fotos.

Bons estudos !