Question

Determine a área do triângulo de vértices A (1,8) B (2,3) e (5; -2)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{5~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos matrizes.

Seja um triângulo com vértices nas coordenadas $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$, sua área $S$ é dada pela fórmula:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}$

Substituindo as coordenadas dos vértices, teremos:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}1&8&1\\2&3&1\\5&-2&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, podemos utilizar a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias, isto é:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}1 & 8 &1 \\ 2&3 &1 \\ 5& -2 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1 &8 \\ 2 & 3\\ 5 &-2 \end{vmatrix}\right$

Aplicando a regra, teremos

$S=\dfrac{1}{2}\cdot|1\cdot3\cdot1+8\cdot1\cdot5+1\cdot2\cdot(-2)-(8\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot(-2)+1\cdot3\cdot5)|$

Multiplique e some os valores

$S=\dfrac{1}{2}\cdot|3+40-4-(16-2+15)|\\\\\\ S=\dfrac{1}{2}\cdot|39-29|\\\\\\ S=\dfrac{1}{2}\cdot|10|$

Sabemos que o módulo de um número positivo é o próprio número, logo:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot10\\\\\\ S=5$

Esta é a área deste triângulo.